Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 15 стр.

где
                                          n
               sin(n + 1/2)ϕ 1 X                                2kπ
      Dn (ϕ) =              = +    cos mϕ,              sk =          ,   (1.30)
                 2 sin(ϕ/2)  2 m=1                             2n + 1

— ядро Дирихле n-го порядка, то каждое из уравнений (1.27), (1.28)
эквивалентно СЛАУ относительно xn (sk ) – приближенных значений
искомой функции x(s) в узлах sk , k = 0, 2n, или же относительно ко-
эффициентов Фурье ck (xn ), k = −n, n, приближенного решения xn (s).
     Отметим, что если Sn xn = Pn Sxn и Rn xn = Pn Rxn для xn ∈ Xn ,
а операторы Pn : Y −→ Yn являются проекционными, т.е. Pn2 = Pn , то
уравнения (1.27) и (1.28) являются эквивалентными; однако в общем
случае эти уравнения указанным свойством не обладают. Отсюда ясно,
что наиболее общим из них является уравнение (1.27), представляю-
щее собой приближенное уравнение общего полиномиального прямого
метода решения с.и.у. (0.1), a (1.28) является приближенным урав-
нением общего проекционного метода решения с.и.у. (0.1). Поэтому
при соответствующем выборе операторов Pn , Sn , Rn и элементов yn из
(1.27), (1.28) можно получить СЛАУ многих известных прямых и про-
екционных методов решения с.и.у. (0.1), в том числе указанных выше
методов Галеркина, коллокации, подобластей и механических квадра-
тур.
     Для уравнений (0.1) и (1.27) справедлива следующая общая
    Теорема 1.1. Пусть выполнены условия:
    a) с.и.у. (0.1) однозначно разрешимо в X при любой правой ча-
сти y ∈ Y = X 1 ;
  б) εn ≡ kA − An k → 0, n → ∞;               A − An : Xn −→ Y.           (1.31)
       Тогда при всех n ∈ N таких, что
                       qn ≡ kA−1 k εn < 1, A−1 : Y −→ X,                  (1.32)
приближенные уравнения (1.27) также однозначно разрешимы. Ес-
ли, кроме того, выполнено условие
 в) δn ≡ ky − yn kY → 0,         n → ∞,                                   (1.33)
то приближенные решения (1.21∗ ), определяемые из уравнения (1.27),
сходятся к точному решению x∗ с.и.у. (0.1) в пространстве X и
                       kA−1 k
      kx∗ − x∗n kX 6          [ ky − yn kY + qn kykY ] = O (εn + δn ) .   (1.34)
                       1 − qn

                                         14