Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

6
°
°
(S + P
n
R)
−1
°
°
Y →X
·kSx
∗
− P
n
Sx
∗
k
Y
= O{kSx
∗
−P
n
Sx
∗
k
Y
}. (1.40)
В силу сказанного выше остается заметить, что соотношения (1.40)
следуют из (1.38) и очевидных тождеств
E − A
−1
n
P
n
R = E − (S + P
n
R)
−1
P
n
R = (S + P
n
R)
−1
S,
где оператор A
n
= S + P
n
R : X
n
−→ Y
n
определен в (1.28).
В следующих пунктах приводятся вычислительные схемы ряда
прямых и проекционных методов решения с.и.у. (0.1) и с помощью те-
орем 1.1 и 1.2 дается их теоретическое обоснование. При этом всюду
в пределах этого параграфа, если нет других условий, будем считать,
что с.и.у. (0.1) однозначно разрешимо в пространстве X = L
2
[0, 2π] при
любой правой части y ∈ Y = W
1
2
[0, 2π]. Всюду через E
T
n
(ϕ)
2
будем
обозначать наилучшее среднеквадратическое приближение функции
ϕ ∈ L
2
элементами из IH
T
n
; аналогично, через E
T s
n
(ψ)
2
будем обозна-
чать частное наилучшее среднеквадратическое приближение функции
ψ(s, σ) ∈ L
2
[0, 2π]
2
по переменной s.
1.3. Метод Галеркина (кратко: м.Г.). В силу (1.11) для эле-
ментов (1.21) имеем
S(x
n
; s) =
n
X
k=−n
α
k
c
k
(g)e
iks
, α
−k
= α
k
. (1.41)
Поэтому условия (1.24) эквивалентны СЛАУ
α
j
c
j
(g) +
n
X
k=−n
h
jk
α
k
= c
j
(y), j = −n, n, (1.42)
где c
j
(g) определены в (1.12), h
jk
= c
j
(ϕ
k
), ϕ
k
(s) = R(e
ikσ
; s), а c
j
(ϕ)
– как и выше, коэффициенты Фурье функции ϕ(s) ∈ L
1
[0, 2π].
Сходимость м.Г. (0.1), (1.21), (1.42) и оценку погрешности ус-
танавливает следующая
Теорема 1.3. Пусть ядро h(s, σ) таково, что регулярный опе-
ратор R : L
2
−→ W
1
2
вполне непрерывен. Тогда при всех n > n
0
( n
0
определяется свойствами h(s, σ)) СЛАУ (1.42) имеет единственное
решение α
∗
k
, k = −n, n. Приближенные решения (1.21
∗
) сходятся к
точному решению с.и.у. (0.1) со скоростью
kx
∗
− x
∗
n
k
2
= O
©
E
T
n
(x
∗
)
2
ª
= O
©
E
T
n
((Sx
∗
)
0
)
2
ª
. (1.43)
Следствие. В условиях теоремы справедливы оценки
kx
∗
− x
∗
n
k
2
= O
½
E
T
n
(
d
ds
y)
2
+ E
T
n
(
d
ds
Rx
∗
)
2
¾
, (1.44)
16
   °             °
 6 °(S + Pn R)−1 °Y →X · kSx∗ − Pn Sx∗ kY = O{kSx∗ − Pn Sx∗ kY }. (1.40)

    В силу сказанного выше остается заметить, что соотношения (1.40)
следуют из (1.38) и очевидных тождеств
        E − A−1                     −1                −1
             n Pn R = E − (S + Pn R) Pn R = (S + Pn R) S,
где оператор An = S + Pn R : Xn −→ Yn определен в (1.28).
     В следующих пунктах приводятся вычислительные схемы ряда
прямых и проекционных методов решения с.и.у. (0.1) и с помощью те-
орем 1.1 и 1.2 дается их теоретическое обоснование. При этом всюду
в пределах этого параграфа, если нет других условий, будем считать,
что с.и.у. (0.1) однозначно разрешимо в пространстве X = L2 [0, 2π] при
любой правой части y ∈ Y = W21 [0, 2π]. Всюду через EnT (ϕ)2 будем
обозначать наилучшее среднеквадратическое приближение функции
ϕ ∈ L2 элементами из IHTn ; аналогично, через EnT s (ψ)2 будем обозна-
чать частное наилучшее среднеквадратическое приближение функции
ψ(s, σ) ∈ L2 [0, 2π]2 по переменной s.
    1.3. Метод Галеркина (кратко: м.Г.). В силу (1.11) для эле-
ментов (1.21) имеем
                           n
                           X
               S(xn ; s) =   αk ck (g)eiks , α−k = αk .  (1.41)
                            k=−n
Поэтому условия (1.24) эквивалентны СЛАУ
                        n
                        X
            αj cj (g) +    hjk αk = cj (y), j = −n, n,                 (1.42)
                         k=−n

где cj (g) определены в (1.12), hjk = cj (ϕk ), ϕk (s) = R(eikσ ; s), а cj (ϕ)
– как и выше, коэффициенты Фурье функции ϕ(s) ∈ L1 [0, 2π].
     Сходимость м.Г. (0.1), (1.21), (1.42) и оценку погрешности ус-
танавливает следующая
    Теорема 1.3. Пусть ядро h(s, σ) таково, что регулярный опе-
ратор R : L2 −→ W21 вполне непрерывен. Тогда при всех n > n0 ( n0
определяется свойствами h(s, σ)) СЛАУ (1.42) имеет единственное
решение αk∗ , k = −n, n. Приближенные решения (1.21∗ ) сходятся к
точному решению с.и.у. (0.1) со скоростью
                           ©          ª   ©               ª
           kx∗ − x∗n k2 = O EnT (x∗ )2 = O EnT ((Sx∗ )0 )2 . (1.43)
     Следствие. В условиях теоремы справедливы оценки
                           ½                        ¾
                                 d           d
           kx∗ − x∗n k2 = O EnT ( y)2 + EnT ( Rx∗ )2 ,                 (1.44)
                                 ds          ds

                                      16

Страницы