ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Кроме того, для любой ψ ∈ W
1
2
аналогично находим
kψ−Φ
n
ψk
1;2
= kψ−Φ
n
ψk
2
+kψ
0
−(Φ
n
ψ)
0
k
2
= E
T
n
(ψ)
2
+E
T
n
(ψ
0
)
2
. (1.52)
Так как
E
T
n
(ψ)
2
6 E
T
n
(ψ
0
)
2
/(n + 1), ψ ∈ W
1
2
, n + 1 ∈ N, (1.53)
то из (1.52) для любой ψ ∈ W
1
2
получаем соотношения
E
T
n
(ψ
0
)
2
∼ kψ − Φ
n
ψk
1;2
6 2 E
T
n
(ψ
0
)
2
→ 0, n → ∞. (1.54)
Поскольку оператор R : L
2
−→ W
1
2
вполне непрерывен, то мно-
жество RШ(0, 1) компактно в пространстве W
1
2
. Поэтому из (1.54) в
силу одного результата И.М. Гельфанда относительно равномерной и
сильной сходимости последовательности линейных операторов в B–
пространствах (см., напр., [55], с. 274 – 276) следует, что
ε
0
n
≡ sup{kϕ − Φ
n
ϕk
1;2
: ϕ ∈ RШ(0, 1)} → 0, n → ∞. (1.55)
Отсюда и из (1.49) получаем оценку
ε
n
≡ kA − A
n
k
X
n
→Y
6 kR − Φ
n
Rk
X→Y
6 ε
0
n
→ 0, n → ∞, (1.56)
где ε
0
n
= 0 при R = 0 ( напр., при h(s, σ) ≡ 0 или h(s, σ) = h(s − σ)).
В силу (1.54) для правых частей уравнений (1.18) и (1.48) спра-
ведлива оценка
δ
n
≡ ky − Φ
n
yk
1;2
6 2 E
T
n
(y
0
)
2
→ 0, n → ∞. (1.57)
В условиях теоремы в силу сделанного выше предположения о
разрешимости с.и.у. (0.1) оператор A : L
2
−→ W
1
2
непрерывно обра-
тим. Таким образом, в силу (1.55) – (1.57) для уравнений (1.18) и (1.48)
выполнены все условия теорем 1.1 и 1.2. Другими словами, сходимость
м.Г. (0.1), (1.21), (1.42) доказана. Первая часть оценки (1.43) следует
из неравенства (1.37) при ex
n
= Φ
n
x
∗
. Вторую часть оценки (1.43) по-
лучаем из (1.38) с учетом (1.7), (1.35), (1.51) и (1.52):
kx
∗
− x
∗
n
k
2
= O
¡
kSx
∗
− Φ
n
Sx
∗
k
1;2
¢
= O
½
E
T
n
³
d
ds
Sx
∗
´
2
¾
.
Отсюда и из тождества Sx
∗
≡ y −Rx
∗
находим оценку (1.44). Оценка
(1.44
0
) выводится из (1.44) и легко доказываемого неравенства
E
T
n
³
dRx
∗
ds
´
2
6 E
T s
n
³
∂h(s, σ)
∂s
´
2
· kx
∗
k
2
, x
∗
= A
−1
y.
Неравенство (1.46) выводится из (1.38
0
) и следующих интересных фор-
мул
S
−1
Φ
n
S = E в L
2
, SΦ
n
S
−1
= E в W
1
2
.
18
Кроме того, для любой ψ ∈ W21 аналогично находим
kψ −Φn ψk1;2 = kψ −Φn ψk2 +kψ 0 −(Φn ψ)0 k2 = EnT (ψ)2 +EnT (ψ 0 )2 . (1.52)
Так как
EnT (ψ)2 6 EnT (ψ 0 )2 /(n + 1), ψ ∈ W21 , n + 1 ∈ N, (1.53)
то из (1.52) для любой ψ ∈ W21 получаем соотношения
EnT (ψ 0 )2 ∼ kψ − Φn ψk1;2 6 2 EnT (ψ 0 )2 → 0, n → ∞. (1.54)
Поскольку оператор R : L2 −→ W21 вполне непрерывен, то мно-
жество RШ(0, 1) компактно в пространстве W21 . Поэтому из (1.54) в
силу одного результата И.М. Гельфанда относительно равномерной и
сильной сходимости последовательности линейных операторов в B–
пространствах (см., напр., [55], с. 274 – 276) следует, что
ε0n ≡ sup{kϕ − Φn ϕk1;2 : ϕ ∈ RШ(0, 1)} → 0, n → ∞. (1.55)
Отсюда и из (1.49) получаем оценку
εn ≡ kA − An kXn →Y 6 kR − Φn RkX→Y 6 ε0n → 0, n → ∞, (1.56)
где ε0n = 0 при R = 0 ( напр., при h(s, σ) ≡ 0 или h(s, σ) = h(s − σ)).
В силу (1.54) для правых частей уравнений (1.18) и (1.48) спра-
ведлива оценка
δn ≡ ky − Φn yk1;2 6 2 EnT (y 0 )2 → 0, n → ∞. (1.57)
В условиях теоремы в силу сделанного выше предположения о
разрешимости с.и.у. (0.1) оператор A : L2 −→ W21 непрерывно обра-
тим. Таким образом, в силу (1.55) – (1.57) для уравнений (1.18) и (1.48)
выполнены все условия теорем 1.1 и 1.2. Другими словами, сходимость
м.Г. (0.1), (1.21), (1.42) доказана. Первая часть оценки (1.43) следует
из неравенства (1.37) при x en = Φn x∗ . Вторую часть оценки (1.43) по-
лучаем из (1.38) с учетом (1.7), (1.35), (1.51) и (1.52):
½ ³ ´¾
¡ ¢ d
kx∗ − x∗n k2 = O kSx∗ − Φn Sx∗ k1;2 = O EnT Sx∗ .
ds 2
Отсюда и из тождества Sx∗ ≡ y − Rx∗ находим оценку (1.44). Оценка
(1.440 ) выводится из (1.44) и легко доказываемого неравенства
³ ∗´ ³ ´
T dRx T s ∂h(s, σ)
En 6 En · kx∗ k2 , x∗ = A−1 y.
ds 2 ∂s 2
Неравенство (1.46) выводится из (1.380 ) и следующих интересных фор-
мул
S −1 Φn S = E в L2 , SΦn S −1 = E в W21 .
18
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- …
- следующая ›
- последняя »
