Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Наконец, оценка (1.45) следует из (1.40) и (1.54) при ψ = Sx
∗
с учетом
того факта, что E
T
n
(Ix)
2
= E
T
n
(x)
2
, x ∈ L
2
.
Теорема 1.3 и ее следствие полностью доказаны.
Замечание 1.1. Для полной непрерывности оператора
R : L
2
−→ W
1
2
достаточно, напр., чтобы h(s, σ) имела производную
по s, удовлетворяющую при σ − s → 0 условию
∂h(s, σ)
∂s
= O
µ
ln
m
|s − σ|
|σ − s|
α
, 0 6 α < 1, m + 1 ∈ N, m + α > 0.
1.4. Метод коллокации. Пользуясь (1.25), сначала приведем
две вычислительные схемы метода коллокации (кратко: м.к.). Если
приближенное решение ищется в виде полинома (1.21), то соотношения
(1.25) и (2.41) приводят к СЛАУ
n
X
k=−n
{c
k
(g)e
iks
j
+ h
jk
}α
k
= y(s
j
), j = −n, n, (1.58)
где {s
j
} – любая система из 2n + 1 попарно неэквивалентных узлов,
c
k
(g) определены в (1.12), а h
jk
= R(e
ikσ
; s
j
). В дальнейшем в качестве
узлов будем использовать
s
j
= 2jπ/(2n + 1), j = −n, n; (1.59)
это связано, с одной стороны, с получением наиболее простых вычисли-
тельных схем, а с другой – с получением наиболее точных результатов
для рассматриваемых методов.
Для вывода второй вычислительной схемы м.к. воспользуемся
формулами (1.21), (1.23), (1.30):
x
n
(s) =
n
X
k=−n
α
k
e
iks
=
2
2n + 1
n
X
k=−n
x
n
(s
k
) D
n
(s − s
k
). (1.60)
Тогда соотношения (1.25) приводят к СЛАУ
2
2n + 1
n
X
k=−n
x
n
(s
k
)
n
S(D
n
(σ − s
k
); s
j
) +
1
2π
2π
Z
0
h(s
j
, σ)D
n
(σ − s
k
) dσ
o
=
= y(s
j
), j = −n, n. (1.61)
Интегралы S(D
n
(σ − s
k
); s
j
) вычисляются точно, т.к. в силу (1.1),
(1.30), (1.11) и (1.12) имеем (см. также с.45 [69])
S(D
n
(σ − s
k
); s
j
) = −
1
2π
2π
Z
0
ln
¯
¯
¯
sin
σ
2
¯
¯
¯
· D
n
(s
j
− s
k
− σ) dσ =
19
Наконец, оценка (1.45) следует из (1.40) и (1.54) при ψ = Sx∗ с учетом
того факта, что EnT (Ix)2 = EnT (x)2 , x ∈ L2 .
     Теорема 1.3 и ее следствие полностью доказаны.
     Замечание 1.1. Для полной непрерывности оператора
R : L2 −→ W21 достаточно, напр., чтобы h(s, σ) имела производную
по s, удовлетворяющую при σ − s → 0 условию
                 µ m         ¶
    ∂h(s, σ)      ln |s − σ|
             =O                , 0 6 α < 1, m + 1 ∈ N, m + α > 0.
       ∂s           |σ − s|α

     1.4. Метод коллокации. Пользуясь (1.25), сначала приведем
две вычислительные схемы метода коллокации (кратко: м.к.). Если
приближенное решение ищется в виде полинома (1.21), то соотношения
(1.25) и (2.41) приводят к СЛАУ
              X n
                  {ck (g)eiksj + hjk }αk = y(sj ), j = −n, n, (1.58)
               k=−n
где {sj } – любая система из 2n + 1 попарно неэквивалентных узлов,
ck (g) определены в (1.12), а hjk = R(eikσ ; sj ). В дальнейшем в качестве
узлов будем использовать
                      sj = 2jπ/(2n + 1),      j = −n, n;              (1.59)
это связано, с одной стороны, с получением наиболее простых вычисли-
тельных схем, а с другой – с получением наиболее точных результатов
для рассматриваемых методов.
     Для вывода второй вычислительной схемы м.к. воспользуемся
формулами (1.21), (1.23), (1.30):
                Xn                   Xn
                        iks     2
       xn (s) =     αk e =              xn (sk ) Dn (s − sk ). (1.60)
                             2n + 1
                k=−n                   k=−n
Тогда соотношения (1.25) приводят к СЛАУ
        Xn         n                          Z2π                         o
   2                                        1
           xn (sk ) S(Dn (σ − sk ); sj ) +        h(sj , σ)Dn (σ − sk ) dσ =
2n + 1                                     2π
        k=−n                                  0
                           = y(sj ),      j = −n, n.                   (1.61)
Интегралы S(Dn (σ − sk ); sj ) вычисляются точно, т.к. в силу (1.1),
(1.30), (1.11) и (1.12) имеем (см. также с.45 [69])
                                   Z2π ¯       ¯
                                1        ¯ σ¯
      S(Dn (σ − sk ); sj ) = −        ln ¯sin ¯ · Dn (sj − sk − σ) dσ =
                               2π            2
                                  0

                                      19

Страницы