Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Если, кроме того, существует h
0
s
(s, σ) ∈ C[0, 2π]
2
, то
kx
∗
− x
∗
n
k
2
= O
©
E
T
n
(y
0
)
∞
+ E
T s
n
(h
0
s
)
∞
ª
. (1.67)
Доказательство. Для оператора Лагранжа (1.63) справедливы
(см., напр., в гл.3 [25]) соотношения:
kψ − L
n
ψk
2
6 2 E
T
n
(ψ)
∞
, ψ ∈ C
2π
, n ∈ N, (1.68)
kL
n
k
2
= ∞, kL
n
k
∞→2
= 1, n ∈ N, (1.69)
kL
n
k
∞
=
2
π
ln n + O (1) 6
4
π
+
2
π
ln
2(2n + 1)
π
, (1.70)
где здесь (и далее) kAk
p→q
( kAk
p→p
≡ kAk
p
) означает норму оператора
A : L
p
−→ L
q
при всех 1 6 p, q 6 ∞, причем формально полагается,
что C = L
∞
.
Теперь рассмотрим L
n
как оператор из W
1
2
в W
1
2
. Тогда в силу
(1.69) имеем kL
n
k 6 ∞. Однако покажем, что для любой ψ ∈ C
1
2π
справедлива оценка
kψ − L
n
ψk
1;2
6 (1 + π) E
T
n
(ψ
0
)
∞
, n ∈ N, (1.71)
а тогда kL
n
k 6 2 + π, L
n
: C
1
2π
−→ W
1
2
.
Действительно, для любой ψ ∈ C
1
2π
с помощью (1.68), (1.50) и
указанных выше свойств оператора Фурье (1.47) и Лагранжа (1.63)
последовательно находим
kψ − L
n
ψk
1;2
= kψ − L
n
ψk
2
+ k(ψ − L
n
ψ)
0
k
2
6 2E
T
n
(ψ)
∞
+
+k(ψ − Φ
n
ψ)
0
k
2
+ k(Φ
n
ψ − L
n
ψ)
0
k
2
6 2E
T
n
(ψ)
∞
+ kψ
0
− Φ
n
(ψ
0
)k
2
+
+nkΦ
n
(ψ − L
n
ψ)k
2
6 2E
T
n
(ψ)
∞
+ E
T
n
(ψ
0
)
2
+ 2nE
T
n
(ψ)
∞
6
6 πE
T
n
(ψ
0
)
∞
+ E
T
n
(ψ
0
)
2
6 (1 + π)E
T
n
(ψ
0
)
∞
.
Заметим, что здесь использованы также известные неравенства (см.,
напр., [48], с.54, 56; [75], с.230)
E
T
n
(ψ)
∞
6
π
2(n + 1)
E
T
n
(ψ
0
)
∞
, ψ ∈ C
1
2π
; (1.72)
kQ
0
n
k
2
6 n kQ
n
k
2
, Q
n
∈ IH
T
n
. (1.73)
Далее, в силу соотношений (1.41), (1.63) и L
2
n
= L
n
каждая из
СЛАУ (1.58), (1.62) эквивалентна операторному уравнению
A
n
x
n
≡ L
n
Ax
n
= Sx
n
+ L
n
Rx
n
= L
n
y (x
n
∈ X
n
, L
n
y ∈ Y
n
), (1.74)
21
Если, кроме того, существует h0s (s, σ) ∈ C[0, 2π]2 , то
                             ©                            ª
             kx∗ − x∗n k2 = O EnT (y 0 )∞ + EnT s (h0 s )∞ .          (1.67)

     Доказательство. Для оператора Лагранжа (1.63) справедливы
(см., напр., в гл.3 [25]) соотношения:
             kψ − Ln ψk2 6 2 EnT (ψ)∞ ,       ψ ∈ C2π ,    n ∈ N,     (1.68)
                 kLn k2 = ∞,      kLn k∞→2 = 1, n ∈ N,          (1.69)
                       2                4 2 2(2n + 1)
             kLn k∞ = ln n + O (1) 6 + ln                ,      (1.70)
                       π                π π         π
где здесь (и далее) kAkp→q ( kAkp→p ≡ kAkp ) означает норму оператора
A : Lp −→ Lq при всех 1 6 p, q 6 ∞, причем формально полагается,
что C = L∞ .
     Теперь рассмотрим Ln как оператор из W21 в W21 . Тогда в силу
                                                                    1
(1.69) имеем kLn k 6 ∞. Однако покажем, что для любой ψ ∈ C2π
справедлива оценка
               kψ − Ln ψk1;2 6 (1 + π) EnT (ψ 0 )∞ ,      n ∈ N,      (1.71)
                             1
а тогда kLn k 6 2 + π, Ln : C2π −→ W21 .
                                    1
     Действительно, для любой ψ ∈ C2π    с помощью (1.68), (1.50) и
указанных выше свойств оператора Фурье (1.47) и Лагранжа (1.63)
последовательно находим
      kψ − Ln ψk1;2 = kψ − Ln ψk2 + k(ψ − Ln ψ)0 k2 6 2EnT (ψ)∞ +
  +k(ψ − Φn ψ)0 k2 + k(Φn ψ − Ln ψ)0 k2 6 2EnT (ψ)∞ + kψ 0 − Φn (ψ 0 )k2 +
      +nkΦn (ψ − Ln ψ)k2 6 2EnT (ψ)∞ + EnT (ψ 0 )2 + 2nEnT (ψ)∞ 6
               6 πEnT (ψ 0 )∞ + EnT (ψ 0 )2 6 (1 + π)EnT (ψ 0 )∞ .
Заметим, что здесь использованы также известные неравенства (см.,
напр., [48], с.54, 56; [75], с.230)
                                  π
                 EnT (ψ)∞ 6             EnT (ψ 0 )∞ , ψ ∈ C2π
                                                           1
                                                              ; (1.72)
                               2(n + 1)
                     kQ0 n k2 6 n kQn k2 ,      Qn ∈ IHTn .           (1.73)
   Далее, в силу соотношений (1.41), (1.63) и L2n = Ln каждая из
СЛАУ (1.58), (1.62) эквивалентна операторному уравнению
  An xn ≡ Ln Axn = Sxn + Ln Rxn = Ln y (xn ∈ Xn , Ln y ∈ Yn ), (1.74)


                                       21

Страницы