Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

где X
n
= IH
T
n
⊂ X = L
2
, Y
n
= IH
T
n
⊂ Y = W
1
2
. Теперь из (1.18), (1.74)
и (1.71) для любого x
n
∈ X
n
находим
kAx
n
− A
n
x
n
k
Y
= kRx
n
− L
n
Rx
n
k
Y
6 kx
n
k
X
· kRz
n
− L
n
Rz
n
k
Y
6
6 kx
n
k
X
· (1 + π) E
T
n
(
d
ds
Rz
n
)
e
C
, z
n
=
x
n
kx
n
k
.
Отсюда, используя первую теорему Джексона в тригонометрическом
случае (см., напр., [75], с.305):
E
T
n
(ψ)
∞
< 3 ω
µ
ψ;
1
n
∞
, ψ ∈ C
2π
,
для любого x
n
∈ X
n
получаем
kAx
n
− A
n
x
n
k
Y
6 3(1 + π) kx
n
k
X
· sup
ϕ∈RШ(0,1)
ω
µ
ϕ
0
;
1
n
∞
≡ ε
0
n
· kx
n
k
X
.
Поскольку оператор R : L
2
−→ C
1
2π
вполне непрерывен, то множество
функций {ϕ
0
(s)} ⊂ C
2π
, где ϕ ∈ RШ(0, 1), компактно в C
2π
. Поэтому
в силу теоремы 3.1 книги [75] имеем
ε
n
≡ k A − A
n
k
X
n
→Y
6 kR − L
n
Rk
X→Y
6 ε
0
n
→ 0, n → ∞.
С другой стороны, в силу (1.71) для правых частей уравнений
(1.18) и (1.74) имеем
δ
n
≡ k y − L
n
yk
1;2
6 (1 + π) E
T
n
(y
0
)
∞
, n ∈ N.
Таким образом, для уравнений (1.18) и (1.74) выполнены все усло-
вия теорем 1.1 и 1.2, откуда и следует сходимость в среднем м.к. По-
кажем справедливость оценок (1.64) - (1.67). Из (1.38), (1.40), (1.35) и
(1.70) при P
n
= L
n
находим
kx
∗
− x
∗
n
k
2
= O
©
kSx
∗
− L
n
Sx
∗
k
1;2
ª
= O
½
E
T
n
(
d
ds
Sx
∗
)
∞
¾
=
= O
©
E
T
n
(Ix
∗
)
∞
ª
= O
©
E
T
n
(x
∗
)
∞
ª
,
т.е. оценки (1.64) доказаны. Здесь необходимо отметить, что в услови-
ях теоремы решение с.и.у. (0.1) удовлетворяет условиям: x
∗
(s) ∈ C
2π
,
I(x
∗
; s) ∈ C
2π
. Из первой части оценки (1.64) с учетом тождества
(Sx
∗
)
0
s
≡ y
0
(s) −(R(x
∗
; s))
0
s
∈ C
2π
следует оценка (1.65), а из нее обыч-
ным способом выводится оценка (1.67). Оценка (1.66) следует из (1.40)
и (1.71) при ψ = Sx
∗
.
Теорема 1.4 и ее следствие полностью доказаны.
22
где Xn = IHTn ⊂ X = L2 , Yn = IHTn ⊂ Y = W21 . Теперь из (1.18), (1.74)
и (1.71) для любого xn ∈ Xn находим
  kAxn − An xn kY = kRxn − Ln Rxn kY 6 kxn kX · kRzn − Ln Rzn kY 6
                                    d                    xn
             6 kxn kX · (1 + π) EnT (  Rzn )Ce , zn =        .
                                    ds                 kxn k
Отсюда, используя первую теорему Джексона в тригонометрическом
случае (см., напр., [75], с.305):
                                  µ      ¶
                                       1
                 EnT (ψ)∞ < 3 ω ψ;           , ψ ∈ C2π ,
                                       n ∞
для любого xn ∈ Xn получаем
                                              µ   ¶
                                                1
 kAxn − An xn kY 6 3(1 + π) kxn kX · sup ω ϕ0 ;     ≡ ε0n · kxn kX .
                                    ϕ∈RШ(0,1)   n ∞
                                 1
Поскольку оператор R : L2 −→ C2π    вполне непрерывен, то множество
            0
функций {ϕ (s)} ⊂ C2π , где ϕ ∈ RШ(0, 1), компактно в C2π . Поэтому
в силу теоремы 3.1 книги [75] имеем
       εn ≡ kA − An kXn →Y 6 kR − Ln RkX→Y 6 ε0n → 0, n → ∞.
     С другой стороны, в силу (1.71) для правых частей уравнений
(1.18) и (1.74) имеем
             δn ≡ ky − Ln yk1;2 6 (1 + π) EnT (y 0 )∞ ,   n ∈ N.
     Таким образом, для уравнений (1.18) и (1.74) выполнены все усло-
вия теорем 1.1 и 1.2, откуда и следует сходимость в среднем м.к. По-
кажем справедливость оценок (1.64) - (1.67). Из (1.38), (1.40), (1.35) и
(1.70) при Pn = Ln находим
                                              ½              ¾
        ∗    ∗
                      ©   ∗        ∗
                                       ª          T d     ∗
      kx − xn k2 = O kSx − Ln Sx k1;2 = O En ( Sx )∞ =
                                                     ds
                       ©         ª      ©          ª
                  = O EnT (Ix∗ )∞ = O EnT (x∗ )∞ ,
т.е. оценки (1.64) доказаны. Здесь необходимо отметить, что в услови-
ях теоремы решение с.и.у. (0.1) удовлетворяет условиям: x∗ (s) ∈ C2π ,
I(x∗ ; s) ∈ C2π . Из первой части оценки (1.64) с учетом тождества
(Sx∗ )0s ≡ y 0 (s) − (R(x∗ ; s))0s ∈ C2π следует оценка (1.65), а из нее обыч-
ным способом выводится оценка (1.67). Оценка (1.66) следует из (1.40)
и (1.71) при ψ = Sx∗ .
      Теорема 1.4 и ее следствие полностью доказаны.

                                        22

Страницы