ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
СЛАУ (1.78) выводится из СЛАУ (1.79) и наоборот.
Ясно, что при ω = 0 обе системы несколько упрощаются, в част-
ности, из (1.79) можно получить СЛАУ (I.126) из книги [69]. В то же
время при ω = π из (1.79), (1.75) – (1.77) получим одну из вычисли-
тельных схем метода дискретных вихрей (пользуемся терминологией
[6, 59]); этот метод рассматривается в следующем пункте.
Сходимость м.м.к. в L
2
и оценку погрешности устанавливает
Теорема 1.5. Пусть функции y(s) и h(s, σ) таковы, что
y
0
∈ C[0, 2π], h
0
s
∈ C[0, 2π]
2
. Тогда при всех n > n
0
(число n
0
определя-
ется свойствами ядра h(s, σ)) каждая из СЛАУ (1.78) и (1.79) имеет
единственное решение соответственно α
∗
k
, k = −n, n, и x
∗
n
(s
l
), l =
= 0, 2n. Приближенные решения (1.77) сходятся к точному решению
x
∗
(s) в среднем со скоростью
kx
∗
− x
∗
n
k
2
= O
©
E
T
n
(y
0
)
∞
+ E
T s
n
(h
s
0
)
∞
+ E
T σ
n
(h)
∞
+ E
T σ
n
(h
0
s
)
∞
ª
.
(1.81)
Если, кроме того, существует h
σ
0
∈ C[0, 2π]
2
, то справедлива оценка
kx
∗
− x
∗
n
k
2
= O
©
E
T
n
(y
0
)
∞
+ E
T s
n
(h
0
s
)
∞
+ E
T σ
n
(h
0
σ
)
∞
ª
. (1.82)
Доказательство. Будем пользоваться результатами и обозначе-
ниями раздела 1.4. Кроме того, обозначим через L
n,ω
тригонометриче-
ский оператор Лагранжа
L
n,ω
(ϕ; s) =
2
2n + 1
2n
X
k=0
ϕ(s
kω
)D
n
(s − s
kω
), ϕ ∈ C
2π
, L
n,ω
2
= L
n,ω
,
где D
n
(t) – ядро Дирихле n–го порядка. Тогда каждая из СЛАУ (1.78),
(1.79) эквивалентна операторному уравнению
A
n
x
n
≡ S
n
x
n
+ R
n
x
n
= y
n
(x
n
∈ X
n
, y
n
∈ Y
n
), (1.83)
где
S
n
x
n
= L
n,ω
Sx
n
= Sx
n
, y
n
= L
n,ω
y,
(1.84)
R
n
x
n
= L
n,ω
{ρL
σ
n
(hx
n
)}, ρϕ =
1
2π
2π
Z
0
ϕ(σ) dσ,
а L
σ
n
означает, что оператор L
n
= L
n,0
применен по переменной σ.
Поскольку квадратурная формула прямоугольников с узлами (1.75)
24
СЛАУ (1.78) выводится из СЛАУ (1.79) и наоборот.
Ясно, что при ω = 0 обе системы несколько упрощаются, в част-
ности, из (1.79) можно получить СЛАУ (I.126) из книги [69]. В то же
время при ω = π из (1.79), (1.75) – (1.77) получим одну из вычисли-
тельных схем метода дискретных вихрей (пользуемся терминологией
[6, 59]); этот метод рассматривается в следующем пункте.
Сходимость м.м.к. в L2 и оценку погрешности устанавливает
Теорема 1.5. Пусть функции y(s) и h(s, σ) таковы, что
y ∈ C[0, 2π], h0s ∈ C[0, 2π]2 . Тогда при всех n > n0 (число n0 определя-
0
ется свойствами ядра h(s, σ)) каждая из СЛАУ (1.78) и (1.79) имеет
единственное решение соответственно αk∗ , k = −n, n, и x∗n (sl ), l =
= 0, 2n. Приближенные решения (1.77) сходятся к точному решению
x∗ (s) в среднем со скоростью
© ª
kx∗ − x∗n k2 = O EnT (y 0 )∞ + EnT s (hs 0 )∞ + EnT σ (h)∞ + EnT σ (h0s )∞ .
(1.81)
0 2
Если, кроме того, существует hσ ∈ C[0, 2π] , то справедлива оценка
© ª
kx∗ − x∗n k2 = O EnT (y 0 )∞ + EnT s (h0s )∞ + EnT σ (h0σ )∞ . (1.82)
Доказательство. Будем пользоваться результатами и обозначе-
ниями раздела 1.4. Кроме того, обозначим через Ln,ω тригонометриче-
ский оператор Лагранжа
2n
2 X
Ln,ω (ϕ; s) = ϕ(skω )Dn (s − skω ), ϕ ∈ C2π , Ln,ω 2 = Ln,ω ,
2n + 1
k=0
где Dn (t) – ядро Дирихле n–го порядка. Тогда каждая из СЛАУ (1.78),
(1.79) эквивалентна операторному уравнению
An xn ≡ Sn xn + Rn xn = yn (xn ∈ Xn , yn ∈ Yn ), (1.83)
где
Sn xn = Ln,ω Sxn = Sxn , yn = Ln,ω y,
(1.84)
Z2π
1
Rn xn = Ln,ω {ρLσn (hxn )}, ρϕ = ϕ(σ) dσ,
2π
0
а Lσn
означает, что оператор Ln = Ln,0 применен по переменной σ.
Поскольку квадратурная формула прямоугольников с узлами (1.75)
24
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- …
- следующая ›
- последняя »
