Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

имеет наивысшую тригонометрическую степень точности, равную 2n,
то
R
n
x
n
= L
n,ω
ρL
σ
n
(hx
n
) = L
n,ω
ρ(L
σ
n
h)x
n
, x
n
∈ X
n
. (1.84
0
)
Поэтому уравнение (1.83) с учетом (L
n,ω
)
2
= L
n,ω
сводится к
A
n
x
n
≡ Sx
n
+ L
n,ω
ρ(L
σ
n
h)x
n
= L
nω
y (x
n
∈ X
n
, L
nω
y ∈ Y
n
). (1.85)
Аналогично, с учетом (1.84) с.и.у. (0.1) запишем в виде
Ax ≡ Sx + ρhx = y (x ∈ X, y ∈ Y ), (1.86)
где X = L
2
, Y = W
1
2
. Дальше существенную роль играет следующая
известная (см., напр., гл. III [25], а также оценку (1.71))
Лемма 1.5. Для любых n ∈ N справедливы соотношения
(а) kL
n,ω
k
2
= ∞, kL
n,ω
k
∞→2
= 1, kL
n,ω
k
∞
= O (ln n) ;
(б) kϕ − L
n,ω
ϕk
2
6 2E
T
n
(ϕ)
∞
, ϕ ∈ C
2π
;
(в) kϕ−L
n,ω
ϕk
∞
6 2 kL
n,ω
k
∞
·E
T
n
(ϕ)
∞
= O
¡
E
T
n
(ϕ)
∞
ln n
¢
, ϕ ∈ C
2π
,
(г) kϕ − L
n,ω
ϕk
1;2
6 (1 + π)E
T
n
(ϕ
0
)
∞
, ϕ ∈ C
1
2π
.
Оценки (а) – (г) справедливы также в случае узлов
˜s
kω
=
kπ
n
+
ω
2n
, k = 0, 2n − 1, 0 6 ω = const 6 π, (1.76
0
)
при этом в оценках (б), (в) и (г) величины E
T
n
(ϕ)
∞
и E
T
n
(ϕ
0
)
∞
следует
заменить на E
T
n−1
(ϕ)
∞
и E
T
n−1
(ϕ
0
)
∞
соответственно.
Теперь для уравнений (1.85), (1.86) в силу леммы 1.5 для любого
x
n
∈ X
n
находим
kAx
n
− A
n
x
n
k
1;2
= kRx
n
− R
n
x
n
k
1;2
6 kRx
n
− L
n,ω
Rx
n
k
1;2
+
+kL
n,ω
ρhx
n
− L
n,ω
ρ(L
σ
n
h)x
n
k
1;2
6 (1 + π)E
T
n
(ρh
0
s
x
n
)
∞
+
+kL
n,ω
ρ(h − L
σ
n
h)x
n
k
1;2
6 (1 + π)E
T s
n
(h
0
s
)
∞
· kx
n
k
2
+
+kψ − L
n,ω
ψk
1;2
, ψ ≡ ρ(h − L
σ
n
h)x
n
. (1.87)
С помощью неравенства Г¨eльдера и леммы 1.5 находим оценки:
kψk
1;2
= kψk
2
+ kψ
0
k
2
= kρ(h − L
n
σh)x
n
k
2
+ kρ(h
0
s
− L
σ
n
h
0
s
)x
n
k
2
6
25
имеет наивысшую тригонометрическую степень точности, равную 2n,
то


       Rn xn = Ln,ω ρLσn (hxn ) = Ln,ω ρ(Lσn h)xn ,    xn ∈ Xn .        (1.840 )
Поэтому уравнение (1.83) с учетом (Ln,ω )2 = Ln,ω сводится к
  An xn ≡ Sxn + Ln,ω ρ(Lσn h)xn = Lnω y (xn ∈ Xn , Lnω y ∈ Yn ).        (1.85)
Аналогично, с учетом (1.84) с.и.у. (0.1) запишем в виде

                Ax ≡ Sx + ρhx = y             (x ∈ X, y ∈ Y ),          (1.86)
где X = L2 , Y = W21 . Дальше существенную роль играет следующая
известная (см., напр., гл. III [25], а также оценку (1.71))
    Лемма 1.5. Для любых n ∈ N справедливы соотношения

    (а) kLn,ω k2 = ∞,     kLn,ω k∞→2 = 1,       kLn,ω k∞ = O (ln n) ;

    (б) kϕ − Ln,ω ϕk2 6 2EnT (ϕ)∞ ,        ϕ ∈ C2π ;
                                              ¡             ¢
    (в) kϕ−Ln,ω ϕk∞ 6 2 kLn,ω k∞ ·EnT (ϕ)∞ = O EnT (ϕ)∞ ln n , ϕ ∈ C2π ,

    (г) kϕ − Ln,ω ϕk1;2 6 (1 + π)EnT (ϕ0 )∞ ,           1
                                                   ϕ ∈ C2π .
    Оценки (а) – (г) справедливы также в случае узлов

              kπ  ω
     s̃kω =      + ,     k = 0, 2n − 1,      0 6 ω = const 6 π,         (1.760 )
               n  2n
при этом в оценках (б), (в) и (г) величины EnT (ϕ)∞ и EnT (ϕ0 )∞ следует
               T            T
заменить на En−1 (ϕ)∞ и En−1    (ϕ0 )∞ соответственно.
    Теперь для уравнений (1.85), (1.86) в силу леммы 1.5 для любого
xn ∈ Xn находим
     kAxn − An xn k1;2 = kRxn − Rn xn k1;2 6 kRxn − Ln,ω Rxn k1;2 +

        +kLn,ω ρhxn − Ln,ω ρ(Lσn h)xn k1;2 6 (1 + π)EnT (ρh0s xn )∞ +

         +kLn,ω ρ(h − Lσn h)xn k1;2 6 (1 + π)EnT s (h0s )∞ · kxn k2 +

                +kψ − Ln,ω ψk1;2 ,         ψ ≡ ρ(h − Lσn h)xn .         (1.87)
С помощью неравенства Гëльдера и леммы 1.5 находим оценки:
  kψk1;2 = kψk2 + kψ 0 k2 = kρ(h − Ln σh)xn k2 + kρ(h0s − Lσn h0s )xn k2 6

                                      25

Страницы