Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Теперь с учетом неравенств (1.91) и (1.95) из теоремы 1.1 следует оцен-
ка (1.82).
Теорема 1.5 доказана полностью.
Из сравнения доказательств теорем 1.4 и 1.5 следует
Теорема 1.6. В условиях теоремы 1.5 погрешность приближен-
ного решения (1.77), построенного методом механических квадра-
тур, может быть оценена любым из неравенств
kx
∗
− x
∗
n
k
2
= O
©
E
T
n
(x
∗
)
∞
+ E
T σ
n
(h)
∞
+ E
T σ
n
(h
0
s
)
∞
ª
, (1.96)
kx
∗
− x
∗
n
k
2
= O
©
E
T
n
(y
0
)
∞
+ E
T
n
((Rx
∗
)
0
)
∞
+ E
T σ
n
(h)
∞
+ E
T σ
n
(h
0
s
)
∞
ª
;
(1.97)
если, кроме того, h
0
σ
(s, σ) ∈ C[0, 2π]
2
, то и неравенствами
kx
∗
− x
∗
n
k
2
= O
©
E
T
n
(x
∗
)
∞
+ E
T s
n
(h
0
s
)
∞
+ E
T σ
n
(h
0
σ
)
∞
ª
. (1.98)
Замечание 1.3. Выше при исследовании м.м.к. было использова-
но нечетное число узлов. Совершенно аналогично может быть исследо-
ван м.м.к., основанный на сетке из четного числа узлов (необходимые
для этого сведения см., напр., в [14, 25], а также в лемме 1.5). Здесь
приближенное решение уместно представить в виде
x
n
(s) =
a
0
2
+
n−1
X
k=1
a
k
cos ks + b
k
sin ks +
a
n
2
cos ns (1.99)
и удобно пользоваться простой формулой
S(x
n
; s) =
a
0
ln 2
2
+
n−1
X
k=1
a
k
cos ks + b
k
sin ks
2k
+
a
n
cos ns
4n
(1.99
0
)
и приведенными в лемме 1.5 сведениями.
Далее, аналогично приведенному выше может быть исследована
также следующая вычислительная схема метода квадратур.
Возьмем сетку из N равноотстоящих узлов
s
k
=
2kπ
N
, k = 1, N, N ∈ N, (1.100)
и с.и.у. (0.1) представим в виде
x(s) ln 2−
1
2π
2π
Z
0
ln
¯
¯
¯
¯
sin
σ − s
2
¯
¯
¯
¯
·[x(σ)−x(s)] dσ+
1
2π
2π
Z
0
h(s, σ)x(σ) dσ = y(s);
(1.101)
27
Теперь с учетом неравенств (1.91) и (1.95) из теоремы 1.1 следует оцен-
ка (1.82).
     Теорема 1.5 доказана полностью.
     Из сравнения доказательств теорем 1.4 и 1.5 следует
     Теорема 1.6. В условиях теоремы 1.5 погрешность приближен-
ного решения (1.77), построенного методом механических квадра-
тур, может быть оценена любым из неравенств
                       ©                                         ª
      kx∗ − x∗n k2 = O EnT (x∗ )∞ + EnT σ (h)∞ + EnT σ (h0s )∞ ,            (1.96)
                   ©                                                          ª
  kx∗ − x∗n k2 = O EnT (y 0 )∞ + EnT ((Rx∗ )0 )∞ + EnT σ (h)∞ + EnT σ (h0s )∞ ;
                                                                            (1.97)
                     0                  2
если, кроме того, hσ (s, σ) ∈ C[0, 2π] , то и неравенствами
                       ©                                         ª
      kx∗ − x∗n k2 = O EnT (x∗ )∞ + EnT s (h0s )∞ + EnT σ (h0σ )∞ .         (1.98)

     Замечание 1.3. Выше при исследовании м.м.к. было использова-
но нечетное число узлов. Совершенно аналогично может быть исследо-
ван м.м.к., основанный на сетке из четного числа узлов (необходимые
для этого сведения см., напр., в [14, 25], а также в лемме 1.5). Здесь
приближенное решение уместно представить в виде
                                 n−1
                      a0 X                         an
             xn (s) =   +  ak cos ks + bk sin ks +    cos ns               (1.99)
                      2                            2
                                 k=1

и удобно пользоваться простой формулой
                                 n−1
                 a0 ln 2 X ak cos ks + bk sin ks an cos ns
     S(xn ; s) =        +                       +                         (1.990 )
                    2               2k              4n
                                 k=1

и приведенными в лемме 1.5 сведениями.
    Далее, аналогично приведенному выше может быть исследована
также следующая вычислительная схема метода квадратур.
    Возьмем сетку из N равноотстоящих узлов
                                2kπ
                         sk =       ,   k = 1, N ,   N ∈ N,              (1.100)
                                 N
и с.и.у. (0.1) представим в виде
                Z2π       ¯      ¯                    Z2π
            1             ¯ σ − s¯                  1
x(s) ln 2−            ln ¯¯sin   ¯·[x(σ)−x(s)] dσ+        h(s, σ)x(σ) dσ = y(s);
           2π                  2 ¯                 2π
                0                                       0
                                                                         (1.101)

                                         27

Страницы