Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 30 стр.

Пользуясь известной терминологией (см. монографии [6, 59]), эту си-
стему будем называть СЛАУ метода дискретных вихрей (м.д.в.).
     Если γk∗ , k = 1, N , – решение СЛАУ (1.107), то решение с.и.у.
(0.1) приближенно может быть восстановлено по формуле
                                           N
                                           X                       hh N ii
                   ∗           ∗
                  x (s) ≈ xN (s) =               γk∗ ϕk (s),    n=        ,        (1.108)
                                                                      2
                                           k=1

где {ϕk (s)} – система фундаментальных полиномов степени n = [[ N2 ]]
или сплайнов степени m (m + 1 ∈ N ) на сетке узлов (1.105); в част-
ности, можно принять ϕk (s) = ϕk,n (s) = 2 ∆n (s − σk )/N , где ∆n (ϕ)
определено в (1.1030 ) или (1.10300 ).
    Пусть теперь
                 N                                    N
               2 X                                 2 X
Lσn (ϕ; σ)   =                          s
                   ∆n (σ − σk )ϕ(σk ), Ln (ψ; s) =       ∆n (s − sj )ψ(sj ),
               N                                   N j=1
                  k=1

где узлы σk и sj определены соответственно в (1.105) и (1.106), а ∆n (ϕ)
– в (1.1030 ), (1.10300 ). Далее, пусть Xn ⊂ X = L2 и Yn ⊂ Y = W21 при
N = 2n + 1 те же, что и выше, а при N = 2n Xn и Yn суть множества
элементов вида (1.99) с нормами соответственно пространств X и Y .
Тогда СЛАУ (1.107) эквивалентна операторному уравнению
 An xn ≡ Lsn Sxn + Lsn ρLσn (hxn ) = Lsn y (xn ∈ Xn ,                 Lsn y ∈ Yn ). (1.109)
В силу этого для вычислительной схемы м.д.в. (0.1), (1.105) – (1.107),
(2.108), ϕk (s) = 2 ∆n (s − σk )/N , справедливы утверждения, аналогич-
ные теоремам 1.5 и 1.6. При доказательстве этого факта существенным
образом использованы результаты глав 1 и 3 монографии [25], а также
вышеприведенные теоремы 1.1, 1.2 и лемма 1.5.
    1.7. Метод вырожденных ядер. Ядро h(s, σ) с.и.у. (0.1) заме-
ним вырожденным аппроксимирующим ядром
                                     N
                                     X
                       hN (s, σ) =         ak (s)bk (σ),         N ∈ N,            (1.110)
                                     k=1

где {ak }N    1        N
         1 ⊂ W2 и {bk }1 ⊂ L2 – некоторые системы 2π–периодичес-
ких функций, хотя бы одна из которых линейно независима. Тогда
получим уравнение метода вырожденных ядер (м.в.я.)
  AN x ≡ Sx + RN x = y,              RN x ≡ rhN x              (x ∈ X,    y ∈ Y ). (1.111)


                                              29