Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 32 стр.

    1.8. Метод наименьших квадратов (м.н.к.). Введем в про-
странстве Y = W21 скалярное произведение
                (ϕ, ψ)1;2 = (ϕ, ψ)2 + (ϕ0 , ψ 0 )2 (ϕ, ψ ∈ W21 ).        (1.117)
Тогда условия (1.23) при U = Y приводят к СЛАУ
       n
       X
              αk (Aeikσ , Aeijσ )1;2 = (y, Aeijσ )1;2 ,     j = −n, n.   (1.118)
       k=−n


     Теорема 1.8. Пусть y(s) ∈ W21 , а ядро h(s, σ) таково, что
оператор R : L2 −→ W21 вполне непрерывен. Если с.и.у. (0.1) од-
нозначно разрешимо в L2 при любой правой части из W21 , то при
всех натуральных n СЛАУ (1.118) имеет единственное решение αk∗ ,
k = −n, n. Приближенные решения x∗n (s) сходятся к точному реше-
нию x∗ (s) в среднем со скоростью
                          kx∗ − x∗n k2 6 η(A) EnT (x∗ )2 ,               (1.119)
где   η(A) = kAk · kA−1 k — число обусловленности оператора
A : L2 −→ W21 .
     Доказательство.Система функций {eiks }, k = 0, ±1, . . . , пол-
на как в L2 , так и в W21 . В условиях теоремы из результатов раздела 1.1
следует, что операторы A : L2 −→ W21 и A−1 : W21 −→ L2 являются
ограниченными. Поэтому система функций {eiks } является также A-
полной [62]. Тогда из результатов С.Г.Михлина [62] по м.н.к. получаем
требуемое утверждение.
     Следует отметить, что если м.н.к. применить к с.и.у. (0.1) лишь в
пространстве L2 , то придем к СЛАУ
        n
        X
               αk (Aeikσ , Aeijσ )2 = (y, Aeijσ )2 ,       j = −n, n.    (1.120)
        k=−n


     Теорема 1.9. Пусть выполнены условия: а) y ∈ L2 [0, 2π] , h
∈ L2 [0, 2π]2 ; б) с.и.у. (0.1) имеет решение x∗ ∈ L2 при данной правой
части y ∈ L2 ; в) уравнение Ax = 0 имеет в L2 лишь тривиальное
решение. Тогда при любых n ∈ N СЛАУ (1.120) имеет единственное
решение α  ek , k = −n, n. Приближенные решения
                                          n
                                          X
                               x
                               en (s) =          ek eiks
                                                 α                       (1.121)
                                          k=−n


                                          31