Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Сходимость м.п. и оценку погрешности устанавливает
Теорема 1.10. Пусть y(s) ∈ W
1
2
, а ядро h(s, σ) таково, что ре-
гулярный оператор R : L
2
−→ W
1
2
вполне непрерывен. Тогда при всех
n > n
0
(n
0
определяется свойствами функции h(s, σ)) СЛАУ (1.125)
имеет единственное решение α
∗
k
, k = −n, n. Приближенные решения
x
∗
n
(s) сходятся к точному решению x
∗
(s) в среднем со скоростью
kx
∗
− x
∗
n
k
2
= O
©
E
T
n
(x
∗
)
2
ª
= O
©
E
T
n
((Sx
∗
)
0
)
2
ª
=
= O
©
E
T
n
(y
0
)
2
+ E
T
n
((Rx
∗
)
0
)
2
ª
. (1.126)
Если, кроме того, h
0
s
(s, σ) ∈ L
2
[0, 2π]
2
, то справедлива оценка
kx
∗
− x
∗
n
k
2
= O
©
E
T
n
(y
0
)
2
+ E
T s
n
(h
0
s
)
2
ª
. (1.127)
Доказательство ведем методом работы [41] и §8 гл.2 [51]. Обо-
значим через Π
n
: L
2
→ IH
T
n
⊂ L
2
линейный проекционный оператор,
однозначно определяющийся (см., напр., [41]) из условий
s
j+1
Z
s
j
Π
n
(ϕ; s) ds =
s
j+1
Z
s
j
ϕ(s) ds, s
j
=
2jπ
2n + 1
, j = 0, 2n. (1.128)
Известно [41, 51], что
kϕ − Π
n
ϕk
2
6
π
2
E
T
n
(ϕ)
2
, ϕ ∈ L
2
, n ∈ N. (1.129)
Теперь рассмотрим Π
n
как оператор из W
1
2
в W
1
2
. Тогда для любой
ϕ ∈ W
1
2
справедлива оценка
kϕ − Π
n
ϕk
1;2
6 (1 + π/2) E
T
n
(ϕ
0
)
2
, n ∈ N. (1.130)
Действительно, с помощью (1.129), (1.50), (1.73), (1.53) и свойств опе-
ратора Фурье (1.47) для любой ϕ ∈ W
1
2
находим
kϕ − Π
n
ϕk
1;2
= kϕ − Π
n
ϕk
2
+ k(ϕ − Π
n
ϕ)
0
k
2
6
6
π
2
E
T
n
(ϕ)
2
+ k(ϕ − Φ
n
ϕ)
0
k
2
+ k[Φ
n
(ϕ − Π
n
ϕ)]
0
k
2
6
6
π
2
E
T
n
(ϕ)
2
+ E
T
n
(ϕ
0
)
2
+ n kϕ − Π
n
ϕk
2
6
6
π(1 + n)
2
E
T
n
(ϕ)
2
+ E
T
n
(ϕ
0
)
2
6 (
π
2
+ 1) E
T
n
(ϕ
0
)
2
.
Пусть X
n
= IH
T
n
⊂ X = L
2
, Y
n
= IH
T
n
⊂ Y = W
1
2
. Тогда в силу
(1.26), (1.128), (1.41) и свойства Π
2
n
= Π
n
СЛАУ (1.125) эквивалентна
линейному операторному уравнению
A
n
x
n
≡ Π
n
Ax
n
= Sx
n
+ Π
n
Rx
n
= Π
n
y (x
n
∈ X
n
, Π
n
y ∈ Y
n
). (1.131)
33
Сходимость м.п. и оценку погрешности устанавливает
       Теорема 1.10. Пусть y(s) ∈ W21 , а ядро h(s, σ) таково, что ре-
гулярный оператор R : L2 −→ W21 вполне непрерывен. Тогда при всех
n > n0 (n0 определяется свойствами функции h(s, σ)) СЛАУ (1.125)
имеет единственное решение αk∗ , k = −n, n. Приближенные решения
x∗n (s) сходятся к точному решению x∗ (s) в среднем со скоростью
                              ©          ª       ©          ª
             kx∗ − x∗n k2 = O EnT (x∗ )2 = O EnT ((Sx∗ )0 )2 =
                            ©                            ª
                        = O EnT (y 0 )2 + EnT ((Rx∗ )0 )2 .     (1.126)
Если, кроме того, h0s (s, σ) ∈ L2 [0, 2π]2 , то справедлива оценка
                                  ©                       ª
              kx∗ − x∗n k2 = O EnT (y 0 )2 + EnT s (h0s )2 .       (1.127)

    Доказательство ведем методом работы [41] и §8 гл.2 [51]. Обо-
значим через Πn : L2 → IHTn ⊂ L2 линейный проекционный оператор,
однозначно определяющийся (см., напр., [41]) из условий
    Zsj+1               Zsj+1
                                                2jπ
         Πn (ϕ; s) ds =      ϕ(s) ds,   sj =          ,   j = 0, 2n.   (1.128)
                                               2n + 1
    sj                   sj

Известно [41, 51], что
                           π T
               kϕ − Πn ϕk2 6E (ϕ)2 , ϕ ∈ L2 , n ∈ N.          (1.129)
                           2 n
    Теперь рассмотрим Πn как оператор из W21 в W21 . Тогда для любой
ϕ ∈ W21 справедлива оценка
          kϕ − Πn ϕk1;2 6 (1 + π/2) EnT (ϕ0 )2 ,      n ∈ N.           (1.130)
Действительно, с помощью (1.129), (1.50), (1.73), (1.53) и свойств опе-
ратора Фурье (1.47) для любой ϕ ∈ W21 находим
             kϕ − Πn ϕk1;2 = kϕ − Πn ϕk2 + k(ϕ − Πn ϕ)0 k2 6
             π
           6 EnT (ϕ)2 + k(ϕ − Φn ϕ)0 k2 + k [Φn (ϕ − Πn ϕ)]0 k2 6
             2
                    π
                 6 EnT (ϕ)2 + EnT (ϕ0 )2 + n kϕ − Πn ϕk2 6
                    2
               π(1 + n) T                        π
            6            En (ϕ)2 + EnT (ϕ0 )2 6 ( + 1) EnT (ϕ0 )2 .
                    2                            2
                      T                        T
     Пусть Xn = IHn ⊂ X = L2 , Yn = IHn ⊂ Y = W21 . Тогда в силу
(1.26), (1.128), (1.41) и свойства Π2n = Πn СЛАУ (1.125) эквивалентна
линейному операторному уравнению
 An xn ≡ Πn Axn = Sxn + Πn Rxn = Πn y (xn ∈ Xn , Πn y ∈ Yn ). (1.131)

                                        33

Страницы