Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 36 стр.

                                            ³           ´
                            ∗                  −r−α+ 12
                        kx −    x∗n k∞    =O n            .                  (1.135)

     Доказательство. В ходе доказательства теорем 1.3, 1.8 и 1.10
установлено, что                  ©          ª
                  kx∗ − x∗n k2 = O EnT (x∗ )2 .           (1.136)
Поскольку здесь x∗ ∈ W r H2α , то в силу теоремы Джексона в L2 (см.,
напр., [48, 57, 75]) имеем
                                  ¡     ¢
                    EnT (x∗ )2 = O n−r−α , r + α > 0.        (1.137)
Из (1.136) и (1.137) следует оценка (1.134).
    Для доказательства (1.135) воспользуемся приемом, предложен-
ным в гл.14 [55]:
                                          ∞
                                          X
                    ∗
                  x (s) −   x∗n (s)   =         x∗2k n (s) − x∗2k−1 n (s),   (1.138)
                                          k=1

где ряд сходится в среднем. Ясно, что в силу (1.134)
                                                                ©            ª
 kx∗2k n − x∗2k−1 n k2 6 kx∗ − x∗2k n k2 + kx∗ − x∗2k−1 n k2 = O (2k−1 n)−r−α .
                                                                          (1.139)
Поскольку (см., напр., [75], с.244)
                               √
                       kTn k∞ 6 2n + 1 kTn k2 , Tn ∈ IHTn ,               (1.140)
то из (1.138) и (1.139) с учетом x∗m ∈ IHTm находим (1.135).
     Теорема 1.12. Пусть y(s) ∈ W r+1 H α и h(s, σ) ∈ W r+1 H α по
переменной s равномерно относительно σ, где r > 0, 0 < α 6 1.
Тогда в условиях теоремы 1.4 м.к. сходится в среднем и равномерно
со скоростями соответственно (1.134) и (1.135). Если, кроме того,
h(s, σ) ∈ W r+1 H α по σ равномерно относительно s, то в условиях
теоремы 1.6 м.м.к. сходится в среднем и равномерно со скоростями
соответственно (1.134) и (1.135).
      Доказательство. С помощью теоремы Джексона в C2π (см., напр.,
[48, 57, 75]) имеем
                        ¡     ¢                   ¡     ¢
         EnT (y 0 )∞ = O n−r−α , EnT s (h0s )∞ = O n−r−α . (1.141)
Отсюда и из (1.67) для метода коллокации следует оценка (1.134), а из
нее, как показано выше, следует равномерная оценка (1.135).
     Пусть теперь h ∈ W r+1 H α (по σ). Тогда
                                       ¡     ¢
                      EnT σ (h0σ )∞ = O n−r−α .              (1.142)

                                            35