Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Из неравенств (1.141), (1.142) и (1.99) для метода механических квад-
ратур следует оценка (1.134), а из нее – (1.135).
Результаты, аналогичные теоремам 1.11 и 1.12, справедливы так-
же для м.в.я. при конкретном выборе аппроксимирующих ядер (1.110).
Например, справедлива следующая
Теорема 1.13. Пусть y(s) ∈ W
r+1
H
α
и h(s, σ) ∈ W
r+1
H
α
по
переменной s равномерно относительно σ, а
h
N
(s, σ) =
2
N
N
X
k=1
h(s
k
, σ)∆
n
(s − s
k
) = L
s
n
h(s, σ), s
k
=
2kπ
N
, (1.143)
где ядра ∆
n
(ϕ), n = [[N/2]], определены в (1.103
0
) и (1.103
00
). Тогда
м.в.я. (1.111)– (1.113) решения с.и.у. (0.1) сходится в среднем и рав-
номерно (при r + α >
1
2
) со скоростями соответственно
kx
∗
− x
∗
N
k
2
= O
¡
N
−r−α
¢
, (1.144)
kx
∗
− x
∗
N
k
∞
= O
³
N
−r−α+
1
2
´
. (1.145)
Доказательство. В рассматриваемом случае в силу леммы 1.5
и теоремы Джексона в C
2π
имеем
kh − h
N
k
L
2
[0,2π]
2
6 2 E
T s
m
(h)
∞
= O (N
−r−α−1
),
kh
0
s
− h
0
N
s
k
L
2
[0,2π]
2
= O (N
−r−α
), m = [[(N − 1)/2]].
Отсюда и из теоремы 1.7 следует оценка (1.144). Для доказательства
оценки (1.145) в уравнениях (1.18) и (1.111) вводим замены соответ-
ственно
Sx
∗
= y + z
∗
; Sx
∗
N
= y + z
∗
N
, (1.146)
где z
∗
и z
∗
N
– решения уравнений соответственно
z + RS
−1
z = −RS
−1
y, (1.147)
z
N
+ R
N
S
−1
z
N
= −R
N
S
−1
y. (1.148)
Ясно, что z
∗
N
∈ IH
T
n
, где n = [[
N
2
]], и
x
∗
− x
∗
N
= S
−1
(z
∗
− z
∗
N
) = S
−1
z
∗
− S
−1
z
∗
N
. (1.149)
Из (1.144) и (1.149) следует оценка
kx
∗
− x
∗
N
k
2
= kS
−1
z
∗
− S
−1
z
∗
N
k
2
= O
¡
N
−r−α
¢
. (1.149
0
)
Здесь элемент S
−1
(z
∗
N
; s), в отличие от элемента x
∗
N
(s), является три-
гонометрическим полиномом порядка не выше n = [[
N
2
]] ( этот факт
36
Из неравенств (1.141), (1.142) и (1.99) для метода механических квад-
ратур следует оценка (1.134), а из нее – (1.135).
    Результаты, аналогичные теоремам 1.11 и 1.12, справедливы так-
же для м.в.я. при конкретном выборе аппроксимирующих ядер (1.110).
Например, справедлива следующая
    Теорема 1.13. Пусть y(s) ∈ W r+1 H α и h(s, σ) ∈ W r+1 H α по
переменной s равномерно относительно σ, а
                N
              2 X                                           2kπ
  hN (s, σ) =     h(sk , σ)∆n (s − sk ) = Lsn h(s, σ), sk =     , (1.143)
              N                                              N
                  k=1

где ядра ∆n (ϕ), n = [[N/2]], определены в (1.1030 ) и (1.10300 ). Тогда
м.в.я. (1.111)– (1.113) решения с.и.у. (0.1) сходится в среднем и рав-
номерно (при r + α > 21 ) со скоростями соответственно
                                        ¡      ¢
                       kx∗ − x∗N k2 = O N −r−α ,                 (1.144)
                                       ³           ´
                        ∗   ∗             −r−α+ 12
                     kx − xN k∞ = O N                .           (1.145)

     Доказательство. В рассматриваемом случае в силу леммы 1.5
и теоремы Джексона в C2π имеем
                                                  Ts
               kh − hN kL               2    6 2 Em  (h)∞ = O (N −r−α−1 ),
                                2 [0,2π]


           kh0s − h0N s kL              2   = O (N −r−α ),   m = [[(N − 1)/2]].
                             2 [0,2π]

Отсюда и из теоремы 1.7 следует оценка (1.144). Для доказательства
оценки (1.145) в уравнениях (1.18) и (1.111) вводим замены соответ-
ственно
                  Sx∗ = y + z ∗ ;               ∗
                                    Sx∗N = y + zN ,         (1.146)
где z ∗ и zN
           ∗
             – решения уравнений соответственно
                                 z + RS −1 z = −RS −1 y,                          (1.147)
                         zN + RN S −1 zN = −RN S −1 y.                            (1.148)
           ∗
Ясно, что zN ∈ IHTn , где n = [[ N2 ]], и
                x∗ − x∗N = S −1 (z ∗ − zN
                                        ∗
                                          ) = S −1 z ∗ − S −1 zN
                                                               ∗
                                                                 .                (1.149)
Из (1.144) и (1.149) следует оценка
                                                  ¡      ¢
         kx∗ − x∗N k2 = kS −1 z ∗ − S −1 zN
                                          ∗
                                            k2 = O N −r−α .                       (1.1490 )
Здесь элемент S −1 (zN
                     ∗
                       ; s), в отличие от элемента x∗N (s), является три-
гонометрическим полиномом порядка не выше n = [[ N2 ]] ( этот факт

                                                   36

Страницы