Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 35 стр.

Теперь из (1.131) и (1.18) с учетом (1.130) находим
        kAxn − An xn k1;2 = kRxn − Πn Rxn k1;2 6 ε0n kxn k2 ,    x n ∈ Xn ,
                  ε0n ≡ sup{kψ − Πn ψk1;2 : ψ ∈ RШ(0, 1)}.
    В силу (1.130) операторы Πn → E сильно в W21 , а в условиях тео-
ремы множество RШ(0, 1) компактно в W21 . Тогда из использованной
выше (см. раздел 1.1) теоремы И.М.Гельфанда следует, что ε0n → 0
при n → ∞. Другими словами, имеем
       εn ≡ kA − An kXn →Y 6 kR − Πn RkX→Y 6 ε0n → 0, n → ∞.             (1.132)
Кроме того, в силу (1.130) и теоремы Джексона в L2 для правых частей
уравнений (1.18) и (1.131) имеем
                               ©         ª
       δn ≡ ky − Πn yk1;2 = O EnT (y 0 )2 → 0, n → ∞.        (1.133)
     Таким образом, в силу (1.132) и (1.133) для уравнений (1.18) и
(1.131) выполнены все условия теорем 1.1 и 1.2, из которых с учетом
оценки (1.130) следует требуемое утверждение.
      1.10.Скорость сходимости приближенных методов. Рав-
номерная сходимость как следствие сходимости в среднем.
Выше установлены среднеквадратические оценки погрешности при-
ближенных методов решения с.и.у. (0.1), причем это сделано в тер-
минах наилучших среднеквадратических или же наилучших равно-
мерных приближений элементов этого уравнения тригонометрически-
ми полиномами. Поэтому известные теоремы Джексона (см., напр.,
[48, 57, 75]) в пространствах L2 и C2π позволяют установить скорость
сходимости указанных методов через структурные свойства элементов
с.и.у. (0.1). Для иллюстрации приведем следующие результаты. При
этом будем использовать известные классы функций
       W r H α = { x ∈ C2π : x(r) (s) ∈ H α },   r + 1 ∈ N,     0 < α 6 1;
W r H2α = { x ∈ L2 : kx(r) (s+δ)−x(r) (s)k2 = O (δ α ) },       r > 0, 0 < α 6 1.

    Теорема 1.11. Пусть с.и.у. (0.1) таково, что его точное реше-
ние x∗ (s) ∈ W r H2α (r > 0, 0 < α 6 1) 1) . Тогда м.Г. в условиях
теоремы 1.3, м.н.к. в условиях теоремы 1.8, м.п. в условиях теоре-
мы 1.10 сходятся в среднем и равномерно (при r + α > 12 ) со скоро-
стями соответственно
                                       ¡     ¢
                       kx∗ − x∗n k2 = O n−r−α ,             (1.134)
  1)Для этого достаточно, если, напр., y(s) ∈ W r+1 H2α , h(s, σ) ∈ W r+1 H2α по s
равномерно относительно σ, а h(s, σ) ∈ L2 [0, 2π]2 .

                                        34