Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

сходятся в том смысле, что невязка r
n
≡ y − Aex
n
→ 0, n → ∞, и
kr
n
k
2
6 E
n
(y)
2
6 kAk
2
· E
T
n
(x
∗
)
2
, (1.122)
E
n
(y)
2
= ky − y
0
n
k
2
, y
0
n
=
n
X
j=−n
eα
j
Ae
ijs
. (1.123)
Доказательство. В силу условия а) теоремы и леммы 1.1 опе-
ратор A : L
2
−→ L
2
является вполне непрерывным. Поэтому система
{e
ijs
}
∞
−∞
является также A-полной в L
2
. С другой стороны, в силу
условия в) теоремы система функций ϕ
j
(s) = A(e
ijσ
; s), j = −∞, ∞,
является линейно независимой. Тогда определитель СЛАУ (1.120) сов-
падает с определителем Грамма системы функций {ϕ
j
(s)}, а, следо-
вательно, отличен от нуля при любых n ∈ N. Поэтому СЛАУ (1.120)
имеет единственное решение eα
k
, k = = −n, n, при любых n ∈ N и в
силу (1.23) при U = L
2
и (1.121) справедлива оценка
kr
n
k
2
= ky − Aex
n
k
2
6 ky − Ax
n
k
2
(1.124)
для любого x
n
∈ IH
T
n
. Полагая x
n
= Φ
n
x
∗
, из (1.124) в силу условия б)
теоремы находим требуемую оценку:
kr
n
k
2
= ky − Aex
n
k
2
6 ky − AΦ
n
x
∗
k
2
= kA(x
∗
− Φ
n
x
∗
)k
2
6
6 kAk
2
· kx
∗
− Φ
n
x
∗
k
2
= kAk
2
· E
T
n
(x
∗
)
2
.
Следует отметить, что если оператор A : L
2
−→ L
2
обратим, то
в условиях теоремы 1.9 справедливо соотношение kx
∗
−x
∗
n
k
2
= ∞ для
любых n ∈ N, т.е. некорректность задачи в рассматриваемом случае
самым неприятным образом отражается на оценке погрешности м.н.к.
В этом и состоит преимущество теоремы 1.8 перед теоремой 1.9.
1.9. Метод подобластей (м.п.). Условия (2.26) в случае рав-
ноотстоящих узлов приводят к следующей СЛАУ относительно коэф-
фициентов полинома (1.21):
n
X
k=−n
α
k
{c
k
(g)e
iks
j
a
k
+ b
jk
} = y
j
, s
j
=
2jπ
2n + 1
, j = 0, 2n, (1.125)
где c
k
(g) определены в (1.12), а
a
k
= {(e
iks
1
− 1)/ik при k 6= 0; 2π/(2n + 1) при k = 0};
b
jk
=
1
2π
s
j+1
Z
s
j
ds
2π
Z
0
h(s, σ)e
ikσ
dσ, y
j
=
s
j+1
Z
s
j
y(s) ds.
32
сходятся в том смысле, что невязка rn ≡ y − Ae
                                             xn → 0, n → ∞, и
                         krn k2 6 En (y)2 6 kAk2 · EnT (x∗ )2 ,                                (1.122)
                                                                   n
                                                                   X
                  En (y)2 = ky −             yn0 k2 ,    yn0   =          ej Aeijs .
                                                                          α                    (1.123)
                                                                   j=−n

      Доказательство. В силу условия а) теоремы и леммы 1.1 опе-
ратор A : L2 −→ L2 является вполне непрерывным. Поэтому система
{eijs }∞
       −∞ является также A-полной в L2 . С другой стороны, в силу
условия в) теоремы система функций ϕj (s) = A(eijσ ; s), j = −∞, ∞,
является линейно независимой. Тогда определитель СЛАУ (1.120) сов-
падает с определителем Грамма системы функций {ϕj (s)}, а, следо-
вательно, отличен от нуля при любых n ∈ N. Поэтому СЛАУ (1.120)
имеет единственное решение α  ek , k = = −n, n, при любых n ∈ N и в
силу (1.23) при U = L2 и (1.121) справедлива оценка
                      krn k2 = ky − Ae
                                     xn k2 6 ky − Axn k2                                       (1.124)
для любого xn ∈ IHTn . Полагая xn = Φn x∗ , из (1.124) в силу условия б)
теоремы находим требуемую оценку:
                     xn k2 6 ky − AΦn x∗ k2 = kA(x∗ − Φn x∗ )k2 6
      krn k2 = ky − Ae
                  6 kAk2 · kx∗ − Φn x∗ k2 = kAk2 · EnT (x∗ )2 .
     Следует отметить, что если оператор A : L2 −→ L2 обратим, то
в условиях теоремы 1.9 справедливо соотношение kx∗ − x∗n k2 = ∞ для
любых n ∈ N, т.е. некорректность задачи в рассматриваемом случае
самым неприятным образом отражается на оценке погрешности м.н.к.
В этом и состоит преимущество теоремы 1.8 перед теоремой 1.9.
    1.9. Метод подобластей (м.п.). Условия (2.26) в случае рав-
ноотстоящих узлов приводят к следующей СЛАУ относительно коэф-
фициентов полинома (1.21):
   n
   X                                                             2jπ
         αk {ck (g)eiksj ak + bjk } = yj ,               sj =          ,          j = 0, 2n,   (1.125)
                                                                2n + 1
  k=−n

где ck (g) определены в (1.12), а
     ak = {(eiks1 − 1)/ik при k 6= 0;                          2π/(2n + 1) при k = 0};
                         Zsj+1        Z2π                                Zsj+1
                     1
            bjk =                ds         h(s, σ)eikσ dσ,         yj =      y(s) ds.
                    2π
                         sj           0                                      sj

                                                    32

Страницы