Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Решение этого уравнения, в случае его существования, будем опреде-
лять по формуле
x
∗
N
(s) = S
−1
(y; s) −
N
X
k=1
α
∗
k
S
−1
(a
k
; s), (1.112)
где {α
∗
k
} – решение СЛАУ
α
j
+
N
X
k=1
a
jk
α
k
= y
j
, j = 1, N, (1.113)
оператор S
−1
: W
1
2
−→ L
2
определен в лемме 1.2, а
y
j
=
2π
Z
0
y(s)b
j
(s) ds, a
jk
=
2π
Z
0
S
−1
(a
k
; s)b
j
(s) ds.
Сходимость этой схемы устанавливает следующая простая
Теорема 1.7. Пусть выполнены условия:
а) y
0
(s) ∈ L
2
[0, 2π], h
0
s
(s, σ) ∈ L
2
[0, 2π]
2
, a
0
k
(s) ∈ L
2
[0, 2π], k = 1, N;
б) ε
N
≡ kh − h
N
k
L
2
[0,2π]
2
+ kh
0
s
− h
N
0
s
k
L
2
[0,2π]
2
→ 0, N → ∞. (1.114)
Тогда при всех N, хотя бы достаточно больших, СЛАУ (1.113) име-
ет единственное решение {α
∗
k
} и приближенные решения (1.112) схо-
дятся к точному решению x
∗
(s) в среднем со скоростью
kx
∗
− x
∗
N
k
2
= O (ε
N
) . (1.115)
Доказательство. Следуя разделу 1.1, уравнения (0.1) и (1.111)
будем рассматривать как операторные уравнения, приводящиеся к урав-
нениям второго рода, где A : X −→ Y и A
N
: X −→ Y , а X = L
2
,
Y = W
1
2
. Тогда для любого x ∈ Xс помощью неравенства Г¨eльдера и
условий теоремы находим
kAx − A
N
xk
1;2
= kRx − R
N
xk
1;2
= kr(h − h
N
)xk
1;2
6 ε
N
kxk
2
,
где ε
N
определено в (1.114). Таким образом, имеем
kA − A
N
k 6 ε
N
, A − A
N
: X −→ Y. (1.116)
В силу (1.114) и (1.116) остальное следует из леммы 1.4 при X = L
2
,
Y = W
1
2
.
30
Решение этого уравнения, в случае его существования, будем опреде-
лять по формуле
                                                         N
                                                         X
                    x∗N (s)                −1
                                = S (y; s) −                   αk∗ S −1 (ak ; s),             (1.112)
                                                         k=1

где {αk∗ } – решение СЛАУ
                                   N
                                   X
                          αj +               ajk αk = yj ,        j = 1, N ,                  (1.113)
                                   k=1

оператор S −1 : W21 −→ L2 определен в лемме 1.2, а
                    Z2π                                    Z2π
             yj =         y(s)bj (s) ds,           ajk =         S −1 (ak ; s)bj (s) ds.
                    0                                      0

     Сходимость этой схемы устанавливает следующая простая
     Теорема 1.7. Пусть выполнены условия:
а) y 0 (s) ∈ L2 [0, 2π], h0s (s, σ) ∈ L2 [0, 2π]2 , a0k (s) ∈ L2 [0, 2π],                  k = 1, N ;
 б) εN ≡ kh − hN kL                    2   + kh0s − hN 0s kL           2   → 0,   N → ∞. (1.114)
                            2 [0,2π]                           2 [0,2π]

Тогда при всех N, хотя бы достаточно больших, СЛАУ (1.113) име-
ет единственное решение {αk∗ } и приближенные решения (1.112) схо-
дятся к точному решению x∗ (s) в среднем со скоростью
                                  kx∗ − x∗N k2 = O (εN ) .                                    (1.115)

    Доказательство. Следуя разделу 1.1, уравнения (0.1) и (1.111)
будем рассматривать как операторные уравнения, приводящиеся к урав-
нениям второго рода, где A : X −→ Y и AN : X −→ Y , а X = L2 ,
Y = W21 . Тогда для любого x ∈ Xс помощью неравенства Гëльдера и
условий теоремы находим
     kAx − AN xk1;2 = kRx − RN xk1;2 = kr(h − hN )xk1;2 6 εN kxk2 ,
где εN определено в (1.114). Таким образом, имеем
                    kA − AN k 6 εN ,                 A − AN : X −→ Y.                         (1.116)
В силу (1.114) и (1.116) остальное следует из леммы 1.4 при X = L2 ,
Y = W21 .


                                                    30

Страницы