Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

тогда, применив к интегралам в (1.101) квадратурную формулу левых
прямоугольников с узлами (1.100), приходим к СЛАУ
β
j
ln 2 −
1
N
N
X
k=1
k6=j
ln
¯
¯
¯
¯
sin
s
k
− s
j
2
¯
¯
¯
¯
· (β
k
− β
j
) +
1
N
N
X
k=1
h(s
j
, s
k
)β
k
=
= y(s
j
), j = 1, N, (1.102)
где β
j
≈ x(s
j
). Пусть β
∗
1
, β
∗
2
, . . . , β
∗
N
– решение СЛАУ (1.102). Тогда за
приближенное решение с.и.у. (0.1) будем принимать полином
x
∗
n
(s) =
2
N
N
X
k=1
∆
n
(s − s
k
)β
k
, n =
hh
N
2
ii
, (1.103)
где [[ t ]] – целая часть числа t > 0, а
∆
n
(ϕ) =
1
2
sin(n +
1
2
)ϕ · cosec
ϕ
2
, N = 2n + 1, (1.103
0
)
– обычное ядро Дирихле n-го порядка,
∆
n
(ϕ) =
1
2
sin nϕ · ctg
ϕ
2
, N = 2n, (1.103
00
)
– т.н. модифицированное ядро Дирихле того же порядка.
Совершенно аналогично, но путем исключения малой окрестно-
сти особой точки σ = s в с.и.у. (0.1) может быть получена и исследо-
вана следующая СЛАУ м.м.к.:
−
1
N
N
X
k=1
k6=j
ln
¯
¯
¯
¯
sin
s
j
− s
k
2
¯
¯
¯
¯
· β
k
+
1
N
N
X
k=1
h(s
j
, s
k
)β
k
=
= y(s
j
), j = 1, N. (1.104)
1.6. Метод дискретных вихрей. Теперь рассмотрим некото-
рую модификацию м.м.к., часто используемую в ряде приложений.
Возьмем две сетки из N ∈ N равноотстоящих узлов
σ
k
=
2(k − 1)π
N
, k = 1, N, (1.105)
s
j
=
(2j − 1)π
N
, j = 1, N, (1.106)
и приближенные значения γ
k
, k = 1, N, искомой функции x(σ) в
узлах (1.105) будем определять из следующей СЛАУ:
−
1
N
N
X
k=1
ln
¯
¯
¯
¯
sin
s
j
− σ
k
2
¯
¯
¯
¯
γ
k
+
1
N
N
X
k=1
h(s
j
, σ
k
)γ
k
= y(s
j
), j = 1, N.
(1.107)
28
тогда, применив к интегралам в (1.101) квадратурную формулу левых
прямоугольников с узлами (1.100), приходим к СЛАУ
                N     ¯        ¯                  N
              1 X ¯¯ sk − sj ¯¯                 1 X
    βj ln 2 −      ln ¯sin       · (βk − βj ) +     h(sj , sk )βk =
              N            2 ¯                  N
                 k=1                                   k=1
                 k6=j

                              = y(sj ), j = 1, N ,                     (1.102)
где βj ≈ x(sj ). Пусть β1∗ , β2∗ , . . . , βN
                                            ∗
                                              – решение СЛАУ (1.102). Тогда за
приближенное решение с.и.у. (0.1) будем принимать полином
                         2 X
                               N                          hh N ii
                 ∗
                xn (s) =             ∆n (s − sk )βk , n =        ,     (1.103)
                         N                                   2
                            k=1
где [[ t ]] – целая часть числа t > 0, а
                     1           1          ϕ
            ∆n (ϕ) = sin(n + )ϕ · cosec , N = 2n + 1,               (1.1030 )
                     2           2          2
– обычное ядро Дирихле n-го порядка,
                               1             ϕ
                    ∆n (ϕ) = sin nϕ · ctg ,        N = 2n,         (1.10300 )
                               2             2
– т.н. модифицированное ядро Дирихле того же порядка.
      Совершенно аналогично, но путем исключения малой окрестно-
сти особой точки σ = s в с.и.у. (0.1) может быть получена и исследо-
вана следующая СЛАУ м.м.к.:
                    N     ¯          ¯           N
                 1 X ¯¯ sj − sk ¯¯             1 X
               −       ln ¯sin         · βk +      h(sj , sk )βk =
                 N                 2 ¯         N
                 k=1                             k=1
                 k6=j

                            = y(sj ),    j = 1, N .                   (1.104)

    1.6. Метод дискретных вихрей. Теперь рассмотрим некото-
рую модификацию м.м.к., часто используемую в ряде приложений.
Возьмем две сетки из N ∈ N равноотстоящих узлов
                           2(k − 1)π
                     σk =            , k = 1, N ,                    (1.105)
                               N
                           (2j − 1)π
                     sj =            , j = 1, N ,                    (1.106)
                               N
и приближенные значения γk , k = 1, N , искомой функции x(σ) в
узлах (1.105) будем определять из следующей СЛАУ:
          N     ¯        ¯          N
      1 X ¯¯ sj − σk ¯¯          1 X
    −        ln ¯sin       γk +        h(sj , σk )γk = y(sj ), j = 1, N .
      N              2 ¯        N
         k=1                       k=1
                                                                     (1.107)

                                        28

Страницы