Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

6 2 kx
n
k
2
{E
T σ
n
(h)
∞
+ E
T σ
n
(h
0
s
)
∞
}, x
n
∈ X
n
; (1.88)
kψ − L
n,ω
ψk
1;2
6 (1 + π) E
T
n
(ψ
0
)
∞
6 (1 + π) kψ
0
k
∞
=
= (1 + π) kρ(h
0
s
− L
σ
n
h
0
s
)x
n
k
∞
6 2 (1 + π) E
T σ
n
(h
0
s
)
∞
kx
n
k
2
.
Из неравенств (1.86) – (1.88) находим оценки
kAx
n
− A
n
x
n
k
1;2
6 {(1 + π) E
T s
n
(h
0
s
)
∞
+ 2 E
T σ
n
(h)
∞
+ 2 E
T σ
n
(h
0
s
)
∞
+
+2 (1 + π) E
T σ
n
(h
0
s
)
∞
}kx
n
k
2
≡ ε
0
n
kx
n
k
2
, x
n
∈ X
n
; (1.89)
ε
n
≡ kA − A
n
k 6 ε
0
n
= O
©
E
T s
n
(h
0
s
)
∞
+ E
T σ
n
(h)
∞
+ E
T σ
n
(h
0
s
)
∞
ª
, (1.90)
где A − A
n
: X
n
−→ Y . С другой стороны, в силу леммы 1.5 для
правых частей уравнений (1.85) и (1.86) имеем
δ
n
≡ ky − L
n,ω
yk
1;2
= O
©
E
T
n
(y
0
)
∞
ª
. (1.91)
Таким образом, все условия теоремы 1.1 выполнены, откуда с уче-
том неравенств (1.90) и (1.91) следует утверждение доказываемой те-
оремы, в том числе оценка (1.81).
Докажем оценку (1.82). С этой целью вместо (1.87) рассмотрим
неравенства
kAx
n
− A
n
x
n
k
1;2
6 kRx
n
− L
n,ω
Rx
n
k
1;2
+ kL
n,ω
ρ(h − L
σ
n
h)x
n
k
1;2
6
6 (1 + π) E
T s
n
(h
0
s
)
∞
kx
n
k
2
+ kL
n,ω
ρ(h − L
σ
n
h)x
n
k
2
+
+k[L
n,ω
ρ(h − L
σ
n
h)x
n
]
0
k
2
, x
n
∈ X
n
, n ∈ N. (1.92)
С помощью леммы 1.5, неравенства Г¨eльдера и неравенства Бернштей-
на (1.73) последовательно находим оценки
kL
n,ω
ρ(h − L
σ
n
h)x
n
k
2
6 kρ(h − L
σ
n
h)x
n
k
∞
6 2E
T σ
n
(h)
∞
kx
n
k
2
;
(1.93)
°
°
°
°
d
ds
[L
n,ω
ρ(h − L
σ
n
h)x
n
]
°
°
°
°
2
6 2 E
T σ
n
(h)
∞
kx
n
k
2
.
Из (1.72) и (1.93) для любого x
n
∈ X
n
получаем
kL
n,ω
ρ(h − L
σ
n
h)x
n
k
1;2
6 (2 + 2n)E
T σ
n
(h)
∞
kx
n
k
2
6 πE
T σ
n
(h
0
σ
)
∞
kx
n
k
2
.
(1.94)
Из неравенств (1.92) и (1.94) следует оценка
ε
n
≡ kA − A
n
k
X
n
→Y
6 (1 + π) E
T s
n
(h
0
s
)
∞
+ π E
T σ
n
(h
0
σ
)
∞
≡
≡ ε
00
n
= O
©
E
T s
n
(h
0
s
)
∞
+ E
T σ
n
(h
0
σ
)
∞
ª
. (1.95)
26
             6 2 kxn k2 {EnT σ (h)∞ + EnT σ (h0s )∞ },        xn ∈ Xn ;        (1.88)
          kψ − Ln,ω ψk1;2 6 (1 + π) EnT (ψ 0 )∞ 6 (1 + π) kψ 0 k∞ =
        = (1 + π) kρ(h0s − Lσn h0s )xn k∞ 6 2 (1 + π) EnT σ (h0s )∞ kxn k2 .
     Из неравенств (1.86) – (1.88) находим оценки
  kAxn − An xn k1;2 6 {(1 + π) EnT s (h0s )∞ + 2 EnT σ (h)∞ + 2 EnT σ (h0s )∞ +
        +2 (1 + π) EnT σ (h0s )∞ }kxn k2 ≡ ε0n kxn k2 ,   xn ∈ Xn ;            (1.89)
                         ©                                          ª
 εn ≡ kA − An k 6 ε0n = O EnT s (h0s )∞ + EnT σ (h)∞ + EnT σ (h0s )∞ , (1.90)
где A − An : Xn −→ Y . С другой стороны, в силу леммы 1.5 для
правых частей уравнений (1.85) и (1.86) имеем
                                        ©           ª
                δn ≡ ky − Ln,ω yk1;2 = O EnT (y 0 )∞ .  (1.91)
    Таким образом, все условия теоремы 1.1 выполнены, откуда с уче-
том неравенств (1.90) и (1.91) следует утверждение доказываемой те-
оремы, в том числе оценка (1.81).
    Докажем оценку (1.82). С этой целью вместо (1.87) рассмотрим
неравенства
   kAxn − An xn k1;2 6 kRxn − Ln,ω Rxn k1;2 + kLn,ω ρ(h − Lσn h)xn k1;2 6
           6 (1 + π) EnT s (h0s )∞ kxn k2 + kLn,ω ρ(h − Lσn h)xn k2 +

             +k[Ln,ω ρ(h − Lσn h)xn ]0 k2 ,       xn ∈ Xn ,     n ∈ N.         (1.92)
С помощью леммы 1.5, неравенства Гëльдера и неравенства Бернштей-
на (1.73) последовательно находим оценки
      kLn,ω ρ(h − Lσn h)xn k2 6 kρ(h − Lσn h)xn k∞ 6 2EnT σ (h)∞ kxn k2 ;

               °                       °                                       (1.93)
               °d                      °
               ° [Ln,ω ρ(h − Lσn h)xn ]° 6 2 EnT σ (h)∞ kxn k .
               ° ds                    °                     2
                                              2

Из (1.72) и (1.93) для любого xn ∈ Xn получаем
 kLn,ω ρ(h − Lσn h)xn k1;2 6 (2 + 2n)EnT σ (h)∞ kxn k2 6 πEnT σ (h0σ )∞ kxn k2 .
                                                                          (1.94)
Из неравенств (1.92) и (1.94) следует оценка
        εn ≡ kA − An kXn →Y 6 (1 + π) EnT s (h0s )∞ + π EnT σ (h0σ )∞ ≡
                            ©                            ª
                 ≡ ε00n = O EnT s (h0s )∞ + EnT σ (h0σ )∞ .             (1.95)

                                         26

Страницы