Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 39 стр.

где A−1 : W21 −→ L2 , а Hs (ϕ; α) и Hσ (ϕ; α) означают, что оператор
H(·; α) применен к функции ϕ(s, σ) по переменным s и σ соответствен-
но. Поэтому чем лучше функция h(s, σ), тем меньше n0 ∈ N, начиная с
которого СЛАУ (1.78), (1.79) м.м.к. однозначно разрешимы. С другой
стороны, из леммы 1.5 и снова из теоремы Джексона получаем
                                                  3(1 + π) H(y r+1 ; α)
  δn ≡ ky − Ln;ω kW 1 6 (1 +   π) EnT (y 0 )∞   6                       . (1.154)
                    2                                    nr+α
Тогда из теоремы 1.1 с учетом неравенств (1.153) и (1.154) находим
                          ½                                      ¾
       ∗    ∗      kA−1 k   e0           3(1 + π) H(y (r+1) ; α)
     kx − xn kL2 6              kykW 1 +                           ,
                   1 − qn nr+α      2            nr+α
т.е. неравенства (1.150) и (1.151а) установлены с постоянными
                                 ½ µ r+1        ¶        µ r+1       ¶¾
                                       ∂   h               ∂    h
     e0 = 3(1 + π) kA−1 kW 1 →L · Hs         ; α + Hσ             ;α    ,
                          2    2       ∂sr+1               ∂σ r+1
          kA−1 k n                           (r+1)
                                                       o
e1 =                e0 kykW 1 + 3(1 + π) H(y       ; α) , A−1 : W21 −→ L2 .
       1 − e0 n−r−α          2


      Докажем оценку (1.151б), при этом ввиду излишней громоздкости
выкладок подсчетом постоянной e2 заниматься не будем.
      В силу (0.1) и (1.83), (1.84) имеем тождества
                        S(x∗ ; s) ≡ y(s) − (ρhx∗ )(s),                   (1.155)
                S(x∗n ; s) ≡ Ln,ω (y; s) − Ln,ω (ρ(Lσn h)x∗n ; s),       (1.156)
откуда получаем
            S(x∗ − x∗n ) = (y − Ln;ω y) − (ρhx∗ − Ln,ω ρhx∗n )−
                                                                         (1.157)
              −ρh(x∗ − x∗n ) − Ln,ω {ρ(h − Lσn h)x∗n } ≡ θn (s).
Решим уравнение S(x∗ − x∗n ) = θn (s) относительно x∗ − x∗n , считая
временно θn (s) известной функцией. Тогда в силу леммы 1.2 имеем
                 x∗ (s) − x∗n (s) = −2I(θn0 ; s) + ρ(θn )/ ln 2,         (1.158)
где операторы I и ρ определены в (1.4) и (1.84) соответственно.
     Из соотношений (1.157) и (1.158) находим
        1 ∗
          kx − x∗n k∞ 6 kI(y − Ln,ω y)0σ k∞ + kI(ψ − Ln,ω ψ)0σ k∞ +
        2
       +kI[ρh(x∗ − x∗n )]0σ k∞ + kI[Ln,ω ρ(h − Lσn h)x∗n ]0σ k∞ +        (1.159)

                                        38