Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

= O (n ln n) kϕk
∞
, ϕ(s) ≡ (ρ(h − L
σ
n
h)x
∗
n
) (s).
Отсюда с помощью оценок (1.68), (1.151а) находим
|ϕ(s)| 6 kx
∗
n
k
2
·
1
2π
2π
Z
0
|h(s, σ) − L
σ
n
h(s, σ)|
2
dσ
1
2
6
6 2 E
T σ
n
(h)
∞
kx
∗
n
k
2
= O
©
E
T σ
n
(h)
∞
ª
.
Тогда с учетом теоремы Джексона в C
2π
для M
4
имеем
M
4
= O (n ln n) · O
¡
n
−r−1−α
¢
= O
¡
n
−r−α
· ln n
¢
. (1.167)
Наконец, для слагаемого M
5
из (1.159) с помощью леммы 1.3 и нера-
венства (1.151а) находим
M
5
6
1
2 ln 2
kS(x
∗
− x
∗
n
)k
2
6
1
2
kx
∗
− x
∗
n
k
2
= O
¡
n
−r−α
¢
. (1.168)
Теперь из неравенств (1.159), (1.162) – (1.164), (1.167), (1.168) следует
требуемая оценка (1.151б).
Для завершения доказательства теоремы 1.14 остается показать
справедливость формул (1.160) и (1.161). Формула (1.160) известна
(см., напр., теорему 9 гл.3 [25]). Докажем формулу (1.161).
Из леммы 1.5 и теоремы Джексона в C
2π
следует, что
kϕ − L
n,ω
ϕk
∞
6 d
2
n
−m−α
ln n, ϕ ∈ W
m
H
α
, (1.169)
где d
2
– положительная постоянная, не зависящая от n. Тогда
kL
2
k
n,ω
ϕ − L
2
k−1
n,ω
ϕk
∞
6 2 d
2
¡
2
k−1
n
¢
−m−α
ln(2
k
n). (1.170)
Теперь из (1.170), (1.165), (1.166) с учетом L
2
k
n,ω
ϕ ∈ IH
T
2
k
n
последова-
тельно находим оценку (1.161):
kI(ϕ − L
n,ω
ϕ)
0
σ
k
∞
= k
∞
X
k=1
£
I(L
2
k
n,ω
ϕ − L
2
k−1
n,ω
ϕ)
¤
0
s
k
∞
6
6
∞
X
k=1
2
k
n · kL
2
k
n,ω
ϕ − L
2
k−1
n,ω
ϕk
∞
6
6
∞
X
k=1
¡
2
k
n · 2 d
2
· (2
k−1
n)
−m−α
ln(2
k
n)
¢
=
=
4 d
2
n
m+α−1
∞
X
k=1
ln(2
k
n)
2
(k−1)(m+α−1)
6
d
1
ln n
n
m+α−1
(m + α > 1).
40
              = O (n ln n) kϕk∞ ,          ϕ(s) ≡ (ρ(h − Lσn h)x∗n ) (s).
Отсюда с помощью оценок (1.68), (1.151а) находим
                                                                21
                                Z2π
                              1
        |ϕ(s)| 6 kx∗n k2 ·         |h(s, σ) − Lσn h(s, σ)|2 dσ  6
                             2π
                                       0
                                                ©          ª
                      6 2 EnT σ (h)∞ kx∗n k2 = O EnT σ (h)∞ .
Тогда с учетом теоремы Джексона в C2π для M4 имеем
                          ¡       ¢    ¡           ¢
       M4 = O (n ln n) · O n−r−1−α = O n−r−α · ln n .                             (1.167)
Наконец, для слагаемого M5 из (1.159) с помощью леммы 1.3 и нера-
венства (1.151а) находим
              1                    1                ¡       ¢
    M5 6          kS(x∗ − x∗n )k2 6 kx∗ − x∗n k2 = O n−r−α .       (1.168)
           2 ln 2                  2
Теперь из неравенств (1.159), (1.162) – (1.164), (1.167), (1.168) следует
требуемая оценка (1.151б).
     Для завершения доказательства теоремы 1.14 остается показать
справедливость формул (1.160) и (1.161). Формула (1.160) известна
(см., напр., теорему 9 гл.3 [25]). Докажем формулу (1.161).
     Из леммы 1.5 и теоремы Джексона в C2π следует, что
          kϕ − Ln,ω ϕk∞ 6 d2 n−m−α ln n,                 ϕ ∈ W mH α,              (1.169)
где d2 – положительная постоянная, не зависящая от n. Тогда
                                        ¡       ¢−m−α
       kL2k n,ω ϕ − L2k−1 n,ω ϕk∞ 6 2 d2 2k−1 n       ln(2k n). (1.170)
Теперь из (1.170), (1.165), (1.166) с учетом L2k n,ω ϕ ∈ IHT2k n последова-
тельно находим оценку (1.161):
                                       ∞
                                       X £                              ¤0
        kI(ϕ −   Ln,ω ϕ)0σ k∞     =k          I(L2k n,ω ϕ − L2k−1 n,ω ϕ) s k∞ 6
                                       k=1
                          ∞
                          X
                      6         2k n · kL2k n,ω ϕ − L2k−1 n,ω ϕk∞ 6
                       k=1
                      ∞
                      X    ¡ k                                ¢
                 6          2 n · 2 d2 · (2k−1 n)−m−α ln(2k n) =
                      k=1
                        X∞
               4 d2                ln(2k n)            d1 ln n
          =                                        6             (m + α > 1).
              nm+α−1            2(k−1)(m+α−1)          nm+α−1
                          k=1

                                              40

Страницы