Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 43 стр.

                                     ©                             ª
       εn ≡ kA − An kXn →Y 6 ε00n = O EnT s (h0s )∞ + EnT σ (h0σ )∞ ,
    kA−1        −1
      n k 6 2 kA k,      An : Xn −→ Yn ,      A : X −→ Y,       n > n1 ,
где n = n1 определяется из неравенства qn = εn kA−1 k < 1/2. В силу
этих неравенств из результатов п.1 §5 гл.1 [25] следует утверждение а)
теоремы 1.15 в случае метода квадратур.
     Пусть теперь с.и.у. (0.1) хорошо обусловлено, т.е. число обуслов-
ленности η(A) = kAk · kA−1 k оператора A = S + R : L2 −→ W21
не велико. Тогда из только что указанных неравенств следует, что
при всех n > n0 , удовлетворяющих неравенству qn ≡ kA−1 kεn < 1,
A−1 : W21 −→ L2 , числа обусловленности операторов An : Xn −→ Yn ,
определяемых соотношениями (1.83), (1.84), существуют, причем
                                                 η(A) + qn
          η(An ) = kAn kXn →Yn · kA−1
                                   n kYn →Xn 6             ≡ γn .
                                                   1 − qn
Поскольку γn → η(A) при n → ∞, то из результатов п.2 §5 гл.1 [25]
следует утверждение б) теоремы 1.15.
    Замечание 1.5.Доказанные выше теоремы 1.1 – 1.15 позволяют
проводить весьма интересные исследования по устойчивости рассмот-
ренных приближенных методов, что́ может быть сделано с помощью
соответствующих результатов монографии С.Г.Михлина [64]. Однако
ограниченность обьема работы не позволяет нам остановиться на этом
более подробно.
    Далее, многие из полученных выше оценок погрешности, как сле-
дует из работ автора [25, 31, 32], являются в определенном смысле
неулучшаемыми. В частности, справедлива следующая
     Теорема 1.16. а) Оценки (1.43), (1.45), (1.115), (1.118), (1.116),
полученные соответственно для методов Галеркина, вырожденных
ядер, наименьших квадратов и подобластей, неулучшаемы по поряд-
ку. б) Оценки (1.64), (1.66) из теоремы 1.4, (1.134) из теоремы 1.12
и (1.151), (1.152) из теоремы 1.14 по методам коллокации и квад-
ратур неулучшаемы по порядку для класса уравнений (0.1), множе-
ство решений X ∗ = {x∗ ∈ X : Ax∗ ≡ y} которого в пространстве
C2π удовлетворяет условию ω(x∗ ; δ) ln δ → 0, δ → +0, равномерно
относительно x∗ ∈ X ∗ .
     Доказательство утверждения а) почти очевидно. Действитель-
но, для м.Г., м.н.к. и м.п. выше показано, что
                                       ©          ª
                       kx∗ − x∗n k2 = O EnT (x∗ )2 .    (1.171)

                                     42