Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 45 стр.

приближенное решение с.и.у. (0.1), построенное одним из рассмотрен-
ных выше прямых методов. Следуя нашей работе [16] (п.2 §2), первое
приближение x1n определим по формуле
      Sx1n + Rx∗n = y     (x∗n = x◦ ;    S, R : L2 −→ W21 ).    (1.1730 )
Отсюда и из точного уравнения находим S(x∗ − x1n ) = −R(x∗ − x∗n ), а
тогда в силу леммы 1.2 имеем
               x∗ − x1n = −S −1 R(x∗ − x∗n ),    x∗n = x◦ .    (1.17300 )
Как показано в работе [16], погрешность первого приближения x1n не
больше (а в случае метода квадратур и меньше) погрешности нулевого
приближения x◦ = x∗n , т.е. погрешности прямого метода. Например,
пусть ядро h(s, σ) таково, что оператор S −1 R является ограниченным
из L2 в C2π . Тогда из (1.17300 ) получаем
           kx∗ − x1n k∞ 6 kS −1 Rk2→∞ · kx∗ − x∗n k2 .         (1.173000 )
В этом случае прямой метод равномерно может и не сходиться, хоть
и сходится в среднем, а первое приближение x1n сходится равномерно
к точному решению с.и.у. (0.1). Более того, x1n может сходиться к x∗
и в пространствах гладких функций, если оператор S −1 R обладает
определенным сглаживающим свойством.
     Далее, уравнения, соответствующие рассмотренным выше при-
ближенным методам, запишем в абстрактном виде
   An xn ≡ Sxn + Rn xn = yn (xn ∈ Xn ⊂ X, yn ∈ Yn ⊂ Y ).        (1.174)
Как уже указывалось выше, уравнение (1.174) эквивалентно СЛАУ
относительно коэффициентов разложения элемента xn по элементам
базиса подпространства Xn ⊂ X. Это уравнение, а следовательно,
и соответствующая ему СЛАУ, как было доказано выше, однозначно
разрешимы при всех n > n0 , где номер n0 определяется свойствами
функции h(s, σ) ; в частности, имеем: а) n0 = 0 для м.н.к. в общем
случае; б) n0 = 0 для всех методов, если h(s, σ) ≡ 0 ; в) n0 = 0
для всех проекционных методов, если h(s, σ) не зависит от перемен-
ной s ; г) n0 = 0 для всех проекционных методов, если Pn2 = Pn и
h(s, σ) = h(s − σ) (см. также §2).
     Из доказанных выше теорем в общем случае прослеживается сле-
дующая интересная закономерность: чем лучше структурные свойства
функции h(s, σ), то тем меньше номер n0 . Однако в общем случае,
кроме м.н.к., номер n0 в ряде случаев может оказаться достаточно

                                    44