Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

большим, а тогда решение с.и.у. (0.1) прямыми и проекционными ме-
тодами может представить значительные практические трудности. В
этом случае уравнение (1.174) можно решать итерационным методом
по схеме
Sx
k+1
n
+ R
n
x
k
n
= y
n
, x
◦
n
= S
−1
y
n
, k = 0, 1, . . . (1.175)
Тогда, следуя §7 гл. II [25], легко доказывается, что последователь-
ность элементов x
k
n
(s), определяемых из (1.175), сходится в среднем к
точному решению x
∗
(s) с.и.у. (0.1) в смысле
lim
n→∞
lim
k→∞
x
k
n
= lim
n→∞
x
∗
n
= x
∗
,
причем с определенной скоростью сходимости. Ясно, что (1.175) есть
простейшая схема аппроксимативно-итерационного метода решения
с.и.у. (0.1). Пользуясь результатами §7 гл. II [25] и [60] и вышеприве-
денными результатами, с.и.у. (0.1) можно решать также более общими
методами (в частности, методом уточняющих итераций), основанны-
ми на сочетании как прямых и проекционных, так и универсальных
итерационных методов.
1.13. Сходимость в пространстве г¨eльдеровых функций.
Выше везде речь шла о сходимости в L
2
, а в ряде случаев и в C
2π
.
Следует отметить, что результаты, аналогичные приведенным выше,
можно получить также в пространстве L
p
(1 < p < ∞, p 6= 2) и
пространстве г¨eльдеровых функций H
β
(0 < β < 1). Для иллюстрации
приведем лишь один результат для м.м.к.:
Теорема 1.17. Пусть выполнены условия: а) y(s) ∈ W
r+1
H
α
и h(s, σ) ∈ W
r+1
H
α
(по каждой из переменных равномерно относи-
тельно другой из них), где r ∈ IR
+
, 0 < α 6 1; б) с.и.у. (0.1) одно-
значно разрешимо в пространстве X = H
β
при любой правой части
из Y = X
1
= H
1+β
, где 0 < β < 1. Тогда при всех n > n
0
( n
0
= 0 при
h(s, σ) ≡ 0 или h(s, σ) = h(s − σ)) таких, что
q
n
= d
0
0
kA
−1
kn
−r−α+β
ln n < 1, r + α > β, A
−1
: X
1
−→ X , (1.176)
СЛАУ (1.78) и (1.79) м.м.к. однозначно разрешимы. Приближенные
решения (1.77) сходятся к точному решению x
∗
(s) с.и.у. (0.1) в про-
странстве H
β
со скоростью
kx
∗
− x
∗
n
k
β
6 d
0
1
n
−r−α+β
ln n, r + α > β, (1.177)
где d
0
i
– положительные постоянные, не зависящие от n.
45
большим, а тогда решение с.и.у. (0.1) прямыми и проекционными ме-
тодами может представить значительные практические трудности. В
этом случае уравнение (1.174) можно решать итерационным методом
по схеме
        Sxk+1
          n   + Rn xkn = yn ,   x◦n = S −1 yn ,   k = 0, 1, . . .   (1.175)
Тогда, следуя §7 гл. II [25], легко доказывается, что последователь-
ность элементов xkn (s), определяемых из (1.175), сходится в среднем к
точному решению x∗ (s) с.и.у. (0.1) в смысле
                       lim lim xkn = lim x∗n = x∗ ,
                       n→∞ k→∞            n→∞

причем с определенной скоростью сходимости. Ясно, что (1.175) есть
простейшая схема аппроксимативно-итерационного метода решения
с.и.у. (0.1). Пользуясь результатами §7 гл. II [25] и [60] и вышеприве-
денными результатами, с.и.у. (0.1) можно решать также более общими
методами (в частности, методом уточняющих итераций), основанны-
ми на сочетании как прямых и проекционных, так и универсальных
итерационных методов.
    1.13. Сходимость в пространстве гëльдеровых функций.
Выше везде речь шла о сходимости в L2 , а в ряде случаев и в C2π .
Следует отметить, что результаты, аналогичные приведенным выше,
можно получить также в пространстве Lp (1 < p < ∞, p 6= 2) и
пространстве гëльдеровых функций H β (0 < β < 1). Для иллюстрации
приведем лишь один результат для м.м.к.:
     Теорема 1.17. Пусть выполнены условия: а) y(s) ∈ W r+1 H α
и h(s, σ) ∈ W r+1 H α (по каждой из переменных равномерно относи-
тельно другой из них), где r ∈ IR+ , 0 < α 6 1; б) с.и.у. (0.1) одно-
значно разрешимо в пространстве X = H β при любой правой части
из Y = X 1 = H 1+β , где 0 < β < 1. Тогда при всех n > n0 ( n0 = 0 при
h(s, σ) ≡ 0 или h(s, σ) = h(s − σ)) таких, что
 qn = d00 kA−1 k n−r−α+β ln n < 1, r + α > β,      A−1 : X 1 −→ X, (1.176)
СЛАУ (1.78) и (1.79) м.м.к. однозначно разрешимы. Приближенные
решения (1.77) сходятся к точному решению x∗ (s) с.и.у. (0.1) в про-
странстве H β со скоростью
               kx∗ − x∗n kβ 6 d01 n−r−α+β ln n,    r + α > β,       (1.177)
где d0i – положительные постоянные, не зависящие от n.

                                     45

Страницы