Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 48 стр.

где функции ak (s) определяются из различных условий, напр., из усло-
вия, чтобы квадратурная формула
                                2n
                                X
                    S(x; s) ≈         ak (s)x(sk ),   x ∈ C2π ,               (е)
                                k=0

имела наивысшую тригонометрическую степень точности (таким свой-
ством обладают, напр., формулы, построенные в гл. 1 [69]).
     Для вычислительной схемы (а) – (е) справедливы результаты,
аналогичные полученным выше по м.м.к. для с.и.у. (0.1). В частно-
сти, справедлива следующая
       Теорема 1.18. Пусть выполнены условия: 1) функция h (по
каждой из переменных в отдельности и равномерно относительно
другой из них) и y ∈ W r+1 H α (r > 0, 0 < α 6 1); 2) точная система
(а) – (б) имеет единственное решение ~x∗ (s) = {x∗ (s); F ∗ } ∈ L2 ⊗ IR
при любой правой части ~y (s) = {y(s); D} ∈ W21 ⊗ IR; 3) функции ak (s)
определены по формуле (1.79) при ω = 0.
       Тогда при всех n > n0 ( n0 = 0 при h(s, σ) = const или при
h(s, σ) = = h(s − σ) ) СЛАУ (г) – (е) имеет единственное реше-
ние Fn∗ , γ0∗ , . . ., γ2n
                         ∗
                           . Приближенные решения ~xn ∗ (s) = {x∗n (s); Fn∗ }, где
x∗n (s) = xn (s) при γk = γk∗ , k = 0, 2n, сходятся к точному решению
системы (а) – (б) со скоростями
                                                              ¡     ¢
              k~x∗ − ~xn ∗ k = kx∗ − x∗n k2 + |F ∗ − Fn∗ | = O n−r−α ,        (ж)
                                      ¡             ¢
                      kx∗ − x∗n k∞ = O n−r−α ln n , r + α > 0.                 (з)

    Доказательство. Сначала точную систему (а) – (б) запишем в
виде одного операторного уравнения
                   ~ x ≡ S~
                   K~    ~ x + R~
                               ~ x = ~y (~x ∈ X,
                                              ~ ~y ∈ Y~ ),                    (и)
 где X~ = {~x} – пространство вектор-функций ~x(s) = {x(s); F } с ком-
 понентами x(s) ∈ L2 , F ∈ IR и нормой k~xk = kxk2 + |F | (~x ∈ X),    ~
 а Y~ = {~y } – пространство вектор-функций ~y (s) = {y(s); D} с ком-
 понентами y ∈ W21 , D ∈ IR и с нормой k~y k = kyk1;2 + |D| (~y ∈ Y~ );
 смысл операторов S    ~иR  ~ очевиден. Ясно, что в условиях теоремы K ~ –
 ограниченный оператор из X      ~ на Y~ , причем существует непрерывный
 обратный K −1 : Y~ −→ X.    ~
       Обозначим через X   ~n = {x~n } ⊂ X~ подпространство вектор-функций
~xn (s) = {xn (s); Fn } с компонентами xn ∈ IHTn ⊂ L2 , Fn ∈ IR и с нормой
 пространства X;  ~ через Y~n = {~yn } ⊂ Y~ обозначим подпространство

                                         47