Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

то оператор B : W
1
p
−→ L
p
(1 < p < ∞) имеет обратный и
B
−1
(y; s) =
c
0
(y)
c
0
(h) + ln 2
− 2 i
∞
X
|k|=1
c
k
(y
0
) sgn k
1 + 2 |k|c
k
(h)
e
iks
, y ∈ W
1
p
. (2.3)
Если существует постоянная λ > 0 такая, что
1)
|c
0
(h) + ln 2| > 1/λ, |1 + 2|k|c
k
(h)| > 2/λ, k 6= 0, (2.4)
то при p = 2 справедлива оценка
kB
−1
k 6 λ < ∞, B
−1
: W
1
2
−→ L
2
. (2.5)
Доказательство. Разложим функции x(s), y(s), h(s) и g(s) в
ряды Фурье:
x(s) =
∞
X
k=−∞
c
k
(x)e
iks
, y(s) =
∞
X
k=−∞
c
k
(y)e
iks
,
(2.6)
h(s) =
∞
X
k=−∞
c
k
(h)e
iks
, g(s) =
∞
X
k=−∞
c
k
(g)e
iks
,
где коэффициенты c
k
(g) определены в (1.12). Поскольку
Bx ≡ −
1
2π
2π
Z
0
ln
¯
¯
¯
sin
σ
2
¯
¯
¯
· x(s − σ) dσ +
1
2π
2π
Z
0
h(σ) x(s − σ) dσ = y(s),
(2.7)
то, подставив (2.6) в (2.7), находим
∞
X
k=−∞
c
k
(x)c
k
(g)e
iks
+
∞
X
k=−∞
c
k
(x)c
k
(h)e
iks
=
∞
X
k=−∞
c
k
(y)e
iks
. (2.8)
Отсюда с учетом (2.2) получаем c
k
(x) = c
k
(y)/{c
k
(g)+c
k
(h)} ≡ c
k
(x
∗
),
k = 0, ±1, . . . Поскольку c
k
(g) = O (1/k), а h(s) ∈ W
1
1
, то c
k
(g)+
+c
k
(h) ∼ c
k
(g) и |k|c
k
(h) = o (1), k → ∞; поэтому в силу соотношений
(2.2) и (2.6) последовательно находим (2.3):
x(s) =
∞
X
k=−∞
c
k
(x) e
iks
=
∞
X
k=−∞
c
k
(y)
c
k
(g) + c
k
(h)
e
iks
=
1)
При h(σ) ∈ W
1
1
вторые из условий (2.2) и (2.4) эквивалентны условиям соот-
ветственно b
k
(h
0
) 6= 1 и |1 − b
k
(h
0
)| > 2/λ, k ∈ N, где b
k
(h
0
) – синус-коэффициенты
Фурье функции h
0
(σ).
49
то оператор B : Wp1 −→ Lp (1 < p < ∞) имеет обратный и
                                 X ck (y 0 ) sgn k ∞
       −1         c0 (y)
   B (y; s) =               − 2i                   eiks , y ∈ Wp1 .                               (2.3)
              c0 (h) + ln 2       1 + 2 |k| ck (h)
                                               |k|=1

                                                                              1)
Если существует постоянная λ > 0 такая, что
              |c0 (h) + ln 2| > 1/λ, |1 + 2|k|ck (h)| > 2/λ,                         k 6= 0,      (2.4)
то при p = 2 справедлива оценка
                        kB −1 k 6 λ < ∞,                B −1 : W21 −→ L2 .                        (2.5)

    Доказательство. Разложим функции x(s), y(s), h(s) и g(s) в
ряды Фурье:
                              ∞
                              X                                        ∞
                                                                       X
                                               iks
                 x(s) =                 ck (x)e ,           y(s) =          ck (y)eiks ,
                           k=−∞                                      k=−∞
                                                                                                  (2.6)
                               ∞
                               X                                     ∞
                                                                     X
                     h(s) =             ck (h)eiks , g(s) =                ck (g)eiks ,
                              k=−∞                                k=−∞

где коэффициенты ck (g) определены в (1.12). Поскольку
                 Z2π      ¯ σ¯                      Z2π
         1                ¯     ¯                 1
 Bx ≡ −                ln ¯sin ¯ · x(s − σ) dσ +        h(σ) x(s − σ) dσ = y(s),
        2π                    2                  2π
                 0                                                0
                                                                                                  (2.7)
то, подставив (2.6) в (2.7), находим
       ∞
       X                                 ∞
                                         X                                 ∞
                                                                           X
                              iks                                iks
              ck (x)ck (g)e         +          ck (x)ck (h)e           =           ck (y)eiks .   (2.8)
       k=−∞                             k=−∞                               k=−∞

Отсюда с учетом (2.2) получаем ck (x) = ck (y)/{ck (g) + ck (h)} ≡ ck (x∗ ),
k = 0, ±1, . . . Поскольку ck (g) = O (1/k), а h(s) ∈ W11 , то ck (g)+
+ck (h) ∼ ck (g) и |k| ck (h) = o (1), k → ∞; поэтому в силу соотношений
(2.2) и (2.6) последовательно находим (2.3):
                           ∞
                           X                            ∞
                                                        X
                                             iks                    ck (y)
               x(s) =               ck (x) e       =                           eiks =
                                                               ck (g) + ck (h)
                          k=−∞                         k=−∞

   При h(σ) ∈ W11 вторые из условий (2.2) и (2.4) эквивалентны условиям соот-
  1)

ветственно bk (h0 ) 6= 1 и |1 − bk (h0 )| > 2/λ, k ∈ N, где bk (h0 ) – синус-коэффициенты
Фурье функции h0 (σ).


                                                       49

Страницы