Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 52 стр.

особенно простой. Действительно, в этом случае в силу (2.7) и (2.8)
имеем
          n
          X                        Xn
                       T
 xn (s) =        iks
             αk e ∈ IHn , Bxn =        αk {ck (g) + ck (h)}eiks ∈ IHTn ,
         k=−n                                    k=−n
                                                               (2.10)
и указанная матрица является диагональной с элементами ck (g)+ ck (h),
−n 6 k 6 n, где ck (g) определены в (2.12), а ck (h) – вещественные
числа. Поскольку симметричная и положительная матрица является
положительно определенной, то из сказанного следует утверждение
следствия. В частности, если h(s) ∈ W11 , то из формул (2.9) и (2.10)
следует, что
       kB −1 k2 = O (n) ,         B −1 : Xn −→ Xn ,           Xn = IHTn ⊂ L2 .

     2.2. Полиномиальные проекционные методы. Приближен-
ное решение с.и.у. (2.1) будем искать в виде полинома
                                   n
                                   X
                       xn (s) =          αk eiks ,      α−k = αk ,               (2.11)
                                  k=−n

который определим как решение операторного уравнения
                 Bn xn ≡ Pn Bxn = Pn y (xn ∈ Xn , Pn y ∈ Yn ),                   (2.12)
где Xn = IHTn ⊂ L2 и Yn = IHTn ⊂ L2 , а Pn : L2 −→ IHTn – аддитивный
и однородный проекционный оператор.
      Отметим, что уравнение (2.12) эквивалентно СЛАУ порядка 2n+1
относительно коэффициентов полинома (2.11). В силу соотношений
(2.10) – (2.12) и Pn2 = Pn имеем Bn xn ≡ Pn Bxn = Bxn для любо-
го xn ∈ Xn , и поэтому матрица упомянутой системы является ис-
ключительно простой, а именно, является диагональной с элементами
ck (g) + ck (h), k = −n, n. Этот факт делает рассматриваемый прибли-
женный метод весьма удобным для практических применений.
     Теорема 2.1. Если h(s) ∈ W21 , а с.и.у. (2.1) имеет единствен-
ное решение x∗ ∈ L2 при любой y ∈ W21 (напр., в условиях леммы
2.1), то при любых n = 0, 1, . . . приближенное уравнение (2.12) так-
же имеет единственное решение
                                           n
                                      X ck ((Pn y)0 ) sgn k
                      c0 (Pn y)
       x∗n (s)   =               − 2i                       eiks .               (2.13)
                   c0 (h) + ln 2         1 + 2 |k| ck (h)
                                         |k|=1



                                            51