ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
=
c
0
(y)
c
0
(g) + c
0
(h)
+
∞
X
|k|=1
c
k
(y) e
iks
c
k
(g) + c
k
(h)
=
=
c
0
(y)
c
0
(g) + ln 2
− 2 i
∞
X
|k|=1
c
k
(y
0
) sgn k
1 + 2 |k|c
k
(h)
e
iks
≡ x
∗
(s).
Легко показать, что только что построенная функция x
∗
(s) является
решением с.и.у. (2.1); единственность решения доказывается методом
от противного.
Из формулы (2.3) с помощью равенства Парсеваля и условий (2.4)
для любого y ∈ W
1
2
находим
kB
−1
yk
2
2
=
|c
0
(y)|
2
|c
0
(h) + ln 2|
2
+ 4
∞
X
|k|=1
|c
k
(y
0
)|
2
|1 + 2 |k|c
k
(h)|
2
6
6 λ
2
{|c
0
(y)|
2
+
∞
X
|k|=1
|c
k
(y
0
)|
2
} 6 λ
2
©
kyk
2
2
+ ky
0
k
2
2
ª
6 λ
2
kyk
2
1;2
.
Отсюда, в свою очередь, следует оценка (2.5).
Замечание 2.1. В условиях (2.4) формула (2.3) остается в силе
и в случае B : H
β
−→ H
1
β
(0 < β < 1). Отметим также, что в частном
случае лемма 2.1 доказана в §8 гл.2 [51].
Лемма 2.2. Если h(s) ∈ L
2
, то оператор B : L
2
−→ L
2
явля-
ется симметричным и вполне непрерывным. Если c
k
(g) + c
k
(h) > 0
(k = 0, ±1, . . .), то оператор B положителен, а однородное уравнение
Bx = 0 имеет в L
2
лишь тривиальное решение.
Следствие. В условиях леммы оператор B на конечномерном
подпространстве X
n
⊂ L
2
[0, 2π] положительно определен.
Доказательство. Симметричность и полная непрерывность опе-
ратора B очевидны.Из (2.6) и (2.8) для любого x ∈ L
2
находим
(Bx, x)
2
=
∞
X
k=−∞
{c
k
(g) + c
k
(h)}|c
k
(x)|
2
, x ∈ L
2
. (2.9)
Из (2.9) следует положительность оператора B в зависимости от свойств
функций g(s) и h(s). В силу (2.9) уравнение Bx = 0 имеет в L
2
лишь
тривиальное решение.
Докажем следствие. Оператор B из (2.1) на конечномерном под-
пространстве X
n
⊂ L
2
определяется квадратной симметричной мат-
рицей порядка N = dim X
n
. При X
n
= IH
T
n
эта матрица является
50
∞
X
c0 (y) ck (y) eiks
= + =
c0 (g) + c0 (h) ck (g) + ck (h)
|k|=1
∞
X ck (y 0 ) sgn k
c0 (y)
= − 2i eiks ≡ x∗ (s).
c0 (g) + ln 2 1 + 2 |k| ck (h)
|k|=1
Легко показать, что только что построенная функция x∗ (s) является
решением с.и.у. (2.1); единственность решения доказывается методом
от противного.
Из формулы (2.3) с помощью равенства Парсеваля и условий (2.4)
для любого y ∈ W21 находим
X ∞
−1 2 |c0 (y)|2 |ck (y 0 )|2
kB yk2 = +4 6
|c0 (h) + ln 2|2 |1 + 2 |k| ck (h)|2
|k|=1
∞
X
2 2
© ª
6 λ {|c0 (y)| + |ck (y 0 )|2 } 6 λ2 kyk22 + ky 0 k22 6 λ2 kyk21;2 .
|k|=1
Отсюда, в свою очередь, следует оценка (2.5).
Замечание 2.1. В условиях (2.4) формула (2.3) остается в силе
и в случае B : H β −→ Hβ1 (0 < β < 1). Отметим также, что в частном
случае лемма 2.1 доказана в §8 гл.2 [51].
Лемма 2.2. Если h(s) ∈ L2 , то оператор B : L2 −→ L2 явля-
ется симметричным и вполне непрерывным. Если ck (g) + ck (h) > 0
(k = 0, ±1, . . .), то оператор B положителен, а однородное уравнение
Bx = 0 имеет в L2 лишь тривиальное решение.
Следствие. В условиях леммы оператор B на конечномерном
подпространстве Xn ⊂ L2 [0, 2π] положительно определен.
Доказательство. Симметричность и полная непрерывность опе-
ратора B очевидны.Из (2.6) и (2.8) для любого x ∈ L2 находим
∞
X
(Bx, x)2 = {ck (g) + ck (h)}|ck (x)|2 , x ∈ L2 . (2.9)
k=−∞
Из (2.9) следует положительность оператора B в зависимости от свойств
функций g(s) и h(s). В силу (2.9) уравнение Bx = 0 имеет в L2 лишь
тривиальное решение.
Докажем следствие. Оператор B из (2.1) на конечномерном под-
пространстве Xn ⊂ L2 определяется квадратной симметричной мат-
рицей порядка N = dim Xn . При Xn = IHTn эта матрица является
50
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- …
- следующая ›
- последняя »
