Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 49 стр.

вектор-функций ~yn (s) = {yn (s); D} с компонентами yn ∈ IHTn ⊂ W21 ,
D ∈ IR и с нормой пространства Y~ . Тогда СЛАУ (в) – (е) эквивалентна
одному операторному уравнению вида
             ~ n~xn ≡ S~
             K        ~ xn + R
                             ~ n~xn = ~yn (~xn ∈ X
                                                 ~ n , ~yn ∈ Y~n ),      (к)
где K~ n – ограниченный оператор из X      ~ n в Y~n при каждом n (2n+1 ∈ N),
а смысл операторов R    ~ n очевиден.
      Теперь для любого ~xn ∈ X     ~ n , как и при доказательстве теоремы
1.6, с помощью уравнений (и), (к) находим
                                      © Ts 0                      ª
              kK~ −K ~ nk         = O   E    (h   )∞ + E Tσ 0
                                                           (h  )∞   ,
                          X~ n →Y
                                ~         n     s        n   σ
                                                     ©        ª
                 k~y − ~yn kY~ = ky − yn kY = O EnT (y 0 )∞ .
В силу условия 1) теоремы из двух последних неравенств получаем
                         ¡ −r−α ¢                   ¡ −r−α ¢
    ~ −K
   kK    ~ nk        = O  n       , k~
                                     y − ~
                                         yn k   = O  n       , r + α > 0.
              ~ n →Y
              X    ~                          ~
                                              Y

Дальше доказательство завершается по аналогии с доказательством
теорем 1.5 и 1.14.

            §2. Уравнения с периодическими ядрами.
                         Продолжение
    В этом параграфе рассматривается приближенное решение
частного случая с.и.у. (0.1), а именно, слабо с.и.у. вида
              Z2π       ¯      ¯              Z2π
          1             ¯ s − σ¯            1
  Bx ≡ −            ln ¯¯sin   ¯ x(σ) dσ +        h(s − σ)x(σ) dσ = y(s),
         2π                  2 ¯           2π
               0                                 0
                                                                  (2.1)
где искомая функция x(s) ищется в пространстве Lp [0, 2π], 1 < p < ∞,
а h(s) ∈ W11 [0, 2π] и y(s) ∈ Wp1 [0, 2π] – известные 2π-периодические
функции, причем h(s) является четной. В этих условиях B является
ограниченным оператором из Lp в Wp1 , 1 < p < ∞. Поэтому для с.и.у.
(2.1) результаты §1 сохраняют силу. Однако в этом случае можно по-
лучить и другие результаты, которые для общего с.и.у. (0.1) не имеют
места.
    2.1. Структура обратного оператора. Наличие регулярного
разностного ядра h(s − σ) в (2.1) и лемма 1.2 позволяют определить
явный вид обратного оператора B −1 : Wp1 −→ Lp (1 < p < ∞).
     Лемма 2.1. Если ядро h(s) таково, что
       c0 (h) 6= − ln 2,   2 |k| ck (h) 6= −1,   k = ±1, ±2, . . . ,   (2.2)

                                       48