Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Следствие. В условиях теоремы для любых k таких, что
0 6 k < r + α − δ (k + 1 ∈ N), в пространстве H
δ
(0 6 δ 6 1)
справедливы оценки
°
°
°
°
d
k
(x
∗
− x
∗
n
)
ds
k
°
°
°
°
δ
= O
µ
ln n
n
r+α−k−δ
, r + α > k + δ, 0 6 δ 6 1, (1.178)
где через H
◦
формально обозначено пространство C
2π
.
Эта теорема доказывается с помощью теорем 1.1, 1.14 и соответ-
ствующих результатов автора по аппроксимации тригонометрически-
ми полиномами в пространствах Г¨eльдера (см., напр., [12, 13, 15, 18,
20, 25, 26]). Аналогичные теоремы справедливы также для других рас-
смотренных выше прямых и проекционных методов.
1.14. Система слабосингулярных уравнений. В приложени-
ях (см., напр., в [82, 84, 86]) нередко встречается система слабо с.и.у.
вида
−
1
2π
2π
Z
0
ln
¯
¯
¯
¯
sin
s − σ
2
¯
¯
¯
¯
x(σ) dσ +
1
2π
2π
Z
0
h(s, σ)x( σ) dσ = y(s) + F, (a)
1
2π
2π
Z
0
x(σ) dσ = D, (б)
где h(s, σ), y(s) – известные функции, x(σ) – искомая функция, F –
искомый, а D – данный параметры. Эта система практически может
быть решена теми же методами, что и с.и.у. (1.1). Для иллюстрации
приведем следующий результат.
Приближенное решение системы (а) – (б) будем искать в виде
вектор-функции ~x
n
(s) = {x
n
(s); F
n
} с неизвестными компонентами
F
n
∈ IR и
x
n
(s) =
2
2n + 1
2n
X
k=0
γ
k
D
n
(s − s
k
) ∈ IH
T
n
, s
k
=
2kπ
2n + 1
, (в)
где γ
k
– подлежащие определению параметры. Неизвестные коэффи-
циенты F
n
, γ
0
, . . . , γ
2n
будем определять из СЛАУ
2n
X
k=0
a
k
(s
j
) γ
k
+
1
2n + 1
2n
X
k=0
h(s
j
, s
k
) γ
k
= y(s
j
) + F
n
, (г)
1
2n + 1
2n
X
k=0
γ
k
= D, s
j
=
2jπ
2n + 1
, j = 0, 2n, (д)
46
     Следствие. В условиях теоремы для любых k таких, что
0 6 k < r + α − δ (k + 1 ∈ N), в пространстве H δ (0 6 δ 6 1)
справедливы оценки
  ° k ∗          °    µ          ¶
  ° d (x − x∗n ) °        ln n
  °              ° =O              , r + α > k + δ, 0 6 δ 6 1, (1.178)
  °     dsk      °      nr+α−k−δ
                    δ
             ◦
где через H формально обозначено пространство C2π .
     Эта теорема доказывается с помощью теорем 1.1, 1.14 и соответ-
ствующих результатов автора по аппроксимации тригонометрически-
ми полиномами в пространствах Гëльдера (см., напр., [12, 13, 15, 18,
20, 25, 26]). Аналогичные теоремы справедливы также для других рас-
смотренных выше прямых и проекционных методов.
     1.14. Система слабосингулярных уравнений. В приложени-
ях (см., напр., в [82, 84, 86]) нередко встречается система слабо с.и.у.
вида
        Z2π ¯           ¯              Z2π
      1        ¯ s − σ¯              1
  −        ln ¯¯sin     ¯ x(σ) dσ +        h(s, σ)x(σ) dσ = y(s) + F, (a)
     2π             2 ¯             2π
        0                                         0
                                     Z2π
                                 1
                                           x(σ) dσ = D,                              (б)
                                2π
                                     0
где h(s, σ), y(s) – известные функции, x(σ) – искомая функция, F –
искомый, а D – данный параметры. Эта система практически может
быть решена теми же методами, что и с.и.у. (1.1). Для иллюстрации
приведем следующий результат.
     Приближенное решение системы (а) – (б) будем искать в виде
вектор-функции ~xn (s) = {xn (s); Fn } с неизвестными компонентами
Fn ∈ IR и
                              2n
                   2 X                                                     2kπ
        xn (s) =        γk Dn (s − sk ) ∈ IHTn ,                   sk =          ,   (в)
                 2n + 1                                                   2n + 1
                              k=0
где γk – подлежащие определению параметры. Неизвестные коэффи-
циенты Fn , γ0 , . . . , γ2n будем определять из СЛАУ
            2n
            X                               2n
                                  1 X
                  ak (sj ) γk +        h(sj , sk ) γk = y(sj ) + Fn ,                (г)
                                2n + 1
            k=0                            k=0
                        2n
               1 X                                       2jπ
                    γk = D,                      sj =          ,   j = 0, 2n,        (д)
             2n + 1                                     2n + 1
                        k=0

                                             46

Страницы