Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Если P
n
y → y в W
1
2
, то x
∗
n
→ x
∗
в L
2
и погрешность приближенного
решения может быть оценена неравенством
kx
∗
− x
∗
n
k
2
6 kB
−1
k · ky − P
n
yk
1;2
, B : L
2
−→ W
1
2
. (2.14)
В частности, в условиях леммы 2.1 справедлива оценка
kx
∗
− x
∗
n
k
2
6 λky − P
n
yk
1;2
, B : L
2
−→ W
1
2
, (2.14
0
)
где λ определено в (2.4).
Следствие. Если P
n
= Φ
n
– оператор Фурье порядка n, то в
условиях леммы 2.1 для погрешности приближенного решения спра-
ведливы соотношения
x
∗
(s) − x
∗
n
(s) = −2 i
∞
X
|k|=n+1
c
k
(y
0
) sgn k
1 + 2 |k|c
k
(h)
e
iks
, (2.15)
kx
∗
− x
∗
n
k
2
6 2 E
T
n
(y
0
)
2
/ min
k>n+1
|1 + 2 k c
k
(h)|. (2.16)
Доказательство. В условиях теоремы интегральный оператор
V : L
2
−→ W
1
2
, порождаемый разностным ядром h(s − σ), вполне
непрерывен, а оператор B : L
2
−→ W
1
2
линейно обратим. Как уже
отмечалось, здесь приближенное уравнение (2.12) принимает вид
B
n
x
n
≡ Bx
n
= P
n
y (x
n
∈ X
n
, P
n
y ∈ Y
n
). (2.12
0
)
Другими словами, для с.и.у. (2.1) оператор B
n
приближенного урав-
нения рассматриваемого проекционного метода совпадает с сужением
исходного оператора B на X
n
⊂ X. Поэтому для всех n = 0, 1, . . . су-
ществует приближенное решение x
∗
n
= B
−1
n
P
n
y = B
−1
P
n
y и в силу
(2.3) справедливы представления (2.13) и x
∗
− x
∗
n
= B
−1
(y − P
n
y).
Отсюда и следуют требуемые утверждения, в том числе оценки (2.14)
и (2.14
0
).
Если же P
n
= Φ
n
, то c
k
(P
n
ϕ) = c
k
(ϕ) (при |k| = 0, n) для любой
ϕ ∈ L
2
и c
k
((P
n
y)
0
) = c
k
(P
n
(y
0
)) = c
k
(y
0
) (при |k| = 1, n), c
k
((P
n
y)
0
) = 0
( при |k| > n + 1) для любой y ∈ W
1
2
. Отсюда и из (2.3) и (2.13) по-
лучаем соотношение (2.15), а из него с помощью равенства Парсеваля
и свойств наилучших среднеквадратических приближений выводится
оценка (2.16).
Теорему 2.1 несколько дополняет следующая
Теорема 2.2. Пусть с.и.у. (2.1) имеет решение x
∗
∈ L
2
при дан-
ной правой части y ∈ L
2
, а ядро h(s) таково, что c
k
(g) + c
k
(h) > 0,
52
Если Pn y → y в W21 , то x∗n → x∗ в L2 и погрешность приближенного
решения может быть оценена неравенством
       kx∗ − x∗n k2 6 kB −1 k · ky − Pn yk1;2 ,        B : L2 −→ W21 .         (2.14)
В частности, в условиях леммы 2.1 справедлива оценка
           kx∗ − x∗n k2 6 λky − Pn yk1;2 ,      B : L2 −→ W21 ,                (2.140 )
где λ определено в (2.4).
     Следствие. Если Pn = Φn – оператор Фурье порядка n, то в
условиях леммы 2.1 для погрешности приближенного решения спра-
ведливы соотношения
                                   ∞
                                   X
              ∗       ∗               ck (y 0 ) sgn k iks
             x (s) − xn (s) = −2 i                    e , (2.15)
                                     1 + 2 |k| ck (h)
                                         |k|=n+1

                kx∗ − x∗n k2 6 2 EnT (y 0 )2 / min |1 + 2 k ck (h)|.           (2.16)
                                               k>n+1

    Доказательство. В условиях теоремы интегральный оператор
V : L2 −→ W21 , порождаемый разностным ядром h(s − σ), вполне
непрерывен, а оператор B : L2 −→ W21 линейно обратим. Как уже
отмечалось, здесь приближенное уравнение (2.12) принимает вид
                 Bn xn ≡ Bxn = Pn y (xn ∈ Xn , Pn y ∈ Yn ).                    (2.120 )
Другими словами, для с.и.у. (2.1) оператор Bn приближенного урав-
нения рассматриваемого проекционного метода совпадает с сужением
исходного оператора B на Xn ⊂ X. Поэтому для всех n = 0, 1, . . . су-
ществует приближенное решение x∗n = Bn−1 Pn y = B −1 Pn y и в силу
(2.3) справедливы представления (2.13) и x∗ − x∗n = B −1 (y − Pn y).
Отсюда и следуют требуемые утверждения, в том числе оценки (2.14)
и (2.140 ).
     Если же Pn = Φn , то ck (Pn ϕ) = ck (ϕ) (при |k| = 0, n) для любой
ϕ ∈ L2 и ck ((Pn y)0 ) = ck (Pn (y 0 )) = ck (y 0 ) (при |k| = 1, n), ck ((Pn y)0 ) = 0
( при |k| > n + 1) для любой y ∈ W21 . Отсюда и из (2.3) и (2.13) по-
лучаем соотношение (2.15), а из него с помощью равенства Парсеваля
и свойств наилучших среднеквадратических приближений выводится
оценка (2.16).
     Теорему 2.1 несколько дополняет следующая
    Теорема 2.2. Пусть с.и.у. (2.1) имеет решение x∗ ∈ L2 при дан-
ной правой части y ∈ L2 , а ядро h(s) таково, что ck (g) + ck (h) > 0,

                                          52

Страницы