Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 54 стр.

(k = 0, ±1, . . .). Тогда приближенное уравнение (2.12) имеет един-
ственное решение x∗n ∈ IHTn при любой правой части Pn y ∈ IHTn . Если
Pn y → y, n → ∞, в L2 , то невязка rn ≡ y − Bx∗n → 0, n → ∞, и
                            krn k2 6 ky − Pn yk2 .                        (2.17)

    Следствие. Если y и Pn y таковы, что
                        ¡       ¢
         ky − Pn yk2 = O n−r−α−1 , r > 0, 0 < α 6 1,                      (2.18)
то приближенные решения x∗n (s) сходятся к точному решению x∗ (s)
в среднем со скоростью
                                ¡     ¢
                kx∗ − x∗n k2 = O n−r−α , r + α > 0.       (2.19)
Если, кроме того, y и Pn y таковы, что
                     ¡            ¢
      ky − Pn yk∞ = O n−r−α−1 ln n , r > 0, 0 < α 6 1,                    (2.20)
то при h(s) ∈ W21 приближенные решения сходятся равномерно и
                             ¡          ¢
             kx∗ − x∗n k∞ = O n−r−α ln n , r + α > 0.   (2.21)

    Доказательство. В силу леммы 2.2 оператор B является сим-
метричным и положительным. Поскольку Bn = Pn B = B на Xn , то в
силу следствия леммы 2.2 оператор Bn является положительно опре-
деленным. Поэтому приближенное уравнение (2.12) однозначно раз-
решимо при любой правой части. Тогда для уравнений (2.1) и (2.12)
справедливы тождества rn ≡ y − Bx∗n = B(x∗ − x∗n ) = y − Pn y. Отсюда
видно, что rn → 0, n → ∞, в L2 со скоростью (2.17).
    Пусть выполнено условие (2.18). Тогда из обратных теорем (см.,
напр., в [48, 75]) конструктивной теории функций в L2 следует, что, по
крайней мере, y ∈ W21 . Поэтому B можно рассматривать как непре-
рывно обратимый оператор из L2 в W21 . А тогда
 kx∗ −x∗n k2 = kB −1 rn k2 6 kB −1 k·ky−Pn yk1;2 , B −1 : W21 −→ L2 . (2.22)
     В силу (2.22) и (2.18) для справедливости (2.19) достаточно пока-
зать, что                                ¡     ¢
                      k(y − Pn y)0 k2 = O n−r−α .               (2.23)
    Как и в §2, разность y − Pn y представим в виде
                           ∞
                           X                             ∞
                                                         X
              y − Pn y =         P2k n y − P2k−1 n y ≡         Qkn (s).   (2.24)
                           k=1                           k=1


                                        53