Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

6
∞
X
k=1
2
k
n (ky − P
2
k
n
yk
∞
+ ky − P
2
k−1
n
yk
∞
) =
= O
(
∞
X
k=1
2
k
n · ln(2
k
n) · (2
k−1
n)
r−α−1
)
= O
¡
n
−r−α
ln n
¢
. (2.30)
Для S
2
(s) с учетом определения операторов I, R, ρ находим
S
2
(s) = I[V (x
∗
− x
∗
n
)]
0
= I[ρh(x
∗
− x
∗
n
)]
0
= I[ρh
0
(x
∗
− x
∗
n
)] =
= ρϕ(x
∗
− x
∗
n
), ϕ(s − σ) ≡
1
2π
2π
Z
0
h
0
(t − σ) ctg
t − s
2
dt.
Поскольку h
0
(t) ∈ L
2
[0, 2π], то в силу известных результатов функция
ϕ(s) ∈ L
2
[0, 2π]. Тогда в силу свойств сверток имеем S
2
(s) ∈ C
2π
,
откуда и из (2.19) находим
kS
2
(s)k
∞
= kρϕ(x
∗
− x
∗
n
)k
∞
6 kϕk
2
kx
∗
− x
∗
n
k
2
= O
¡
n
−r−α
¢
. (2.31)
Из соотношений (2.27) – (2.31) следует требуемая оценка (2.21).
Теорема 2.2 доказана полностью.
Завершая этот параграф, отметим, что теоремы 2.1 и 2.2 являют-
ся достаточно общими в том смысле, что принимая в них в качестве P
n
различные полиномиальные операторы, мы получаем сходимость раз-
личных полиномиальных проекционных методов решения с.и.у. (2.1);
в частности, теоремы 2.1 и 2.2 обеспечивают сходимость таких извест-
ных проекционных методов, как методы коллокации, Галеркина и по-
добластей.
§3. Уравнения с логарифмическими
ядрами. Непериодический случай
3.1. Постановка задачи и вспомогательные результаты.
В этом параграфе рассматриваются вопросы приближенного решения
слабо с.и.у. I рода вида
Aϕ ≡ −
1
2π
+1
Z
−1
ln |τ − t|
ϕ(τ)dτ
√
1 − τ
2
+
1
π
+1
Z
−1
g(t, τ )
ϕ(τ)dτ
√
1 − τ
2
= f(t), |t| 6 1,
(3.1)
где g(t, τ) и f(t) – известные непрерывные функции в областях соот-
ветственно [−1, 1]
2
и [−1, 1] , а ϕ(τ) – искомая функция. От правой
55
                   ∞
                   X
             6           2k n (ky − P2k n yk∞ + ky − P2k−1 n yk∞ ) =
                   k=1
        (∞                                            )
         X                                                   ¡          ¢
   =O             2k n · ln(2k n) · (2k−1 n)r−α−1         = O n−r−α ln n .         (2.30)
           k=1
Для S2 (s) с учетом определения операторов I, R, ρ находим
     S2 (s) = I[V (x∗ − x∗n )]0 = I[ρh(x∗ − x∗n )]0 = I[ρh0 (x∗ − x∗n )] =

                                                 Z2π
                                           1                            t−s
       = ρϕ(x∗ − x∗n ),        ϕ(s − σ) ≡              h0 (t − σ) ctg       dt.
                                          2π                             2
                                                  0

Поскольку h0 (t) ∈ L2 [0, 2π], то в силу известных результатов функция
ϕ(s) ∈ L2 [0, 2π]. Тогда в силу свойств сверток имеем S2 (s) ∈ C2π ,
откуда и из (2.19) находим
                                                       ¡     ¢
  kS2 (s)k∞ = kρϕ(x∗ − x∗n )k∞ 6 kϕk2 kx∗ − x∗n k2 = O n−r−α . (2.31)
Из соотношений (2.27) – (2.31) следует требуемая оценка (2.21).
     Теорема 2.2 доказана полностью.
     Завершая этот параграф, отметим, что теоремы 2.1 и 2.2 являют-
ся достаточно общими в том смысле, что принимая в них в качестве Pn
различные полиномиальные операторы, мы получаем сходимость раз-
личных полиномиальных проекционных методов решения с.и.у. (2.1);
в частности, теоремы 2.1 и 2.2 обеспечивают сходимость таких извест-
ных проекционных методов, как методы коллокации, Галеркина и по-
добластей.

             §3.     Уравнения с логарифмическими
                   ядрами. Непериодический случай
    3.1. Постановка задачи и вспомогательные результаты.
В этом параграфе рассматриваются вопросы приближенного решения
слабо с.и.у. I рода вида
            Z+1                            Z+1
        1                    ϕ(τ )dτ   1                  ϕ(τ )dτ
Aϕ ≡ −            ln |τ − t| √       +           g(t, τ ) √        = f (t),       |t| 6 1,
       2π                      1 − τ2 π                     1 − τ2
            −1                             −1
                                                                (3.1)
где g(t, τ ) и f (t) – известные непрерывные функции в областях соот-
ветственно [−1, 1]2 и [−1, 1] , а ϕ(τ ) – искомая функция. От правой

                                          55

Страницы