Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

части f(t) и регулярного ядра g(t, τ) будем требовать также, чтобы
они удовлетворяли условиям
+1
Z
−1
|f
0
(t)|
2
p
1 − t
2
dt < ∞,
+1
Z
−1
+1
Z
−1
¯
¯
¯
¯
∂g(t, τ)
∂t
¯
¯
¯
¯
2
r
1 − t
2
1 − τ
2
dtdτ < ∞. (3.2)
Решение с.и.у. (3.1) будем искать в пространстве L
2p
[−1, 1] квадра-
тично суммируемых на [−1, 1] с весом p(t) = (1 − t
2
)
−1/2
функций с
нормой
kϕk
L
2p
=
1
π
+1
Z
−1
|ϕ(t)|
2
dt
√
1 − t
2
1/2
≡ kϕk
2p
(ϕ ∈ L
2p
[−1, 1]). (3.3)
Обозначим через W
1
2q
[−1, 1] пространство абсолютно непрерывных на
[−1, 1] функций f(t), у которых производные квадратично суммируе-
мы на [−1, 1] с весом q(t) = 1/p( t) = (1 − t
2
)
1/2
; норму в W
1
2q
введем
соотношением
kfk
W
1
2q
=
1
π
+1
Z
−1
|f(t)|
2
dt
√
1 − t
2
1/2
+
1
π
+1
Z
−1
|f
0
(t)|
2
p
1 − t
2
dt
1/2
≡
≡ kfk
L
2p
+ kf
0
k
L
2q
≡ kfk
1;2q
(f ∈ W
1
2q
[−1, 1]). (3.4)
Для дальнейшего изложения существенное значение имеют следующие
утверждения I – IV .
Утверждение I . Уравнение (3.1) сводится к частному случаю
исследованного в §1 с.и.у. (0.1) при
x(σ) = ϕ(cos σ), y(s) = f(cos s), h(s, σ) = g(cos s, cos σ) −
ln 2
2
. (3.5)
Действительно, положим в (3.1)
t = cos s, τ = cos σ, −1 6 t, τ 6 1, 0 6 s, σ 6 π. (3.6)
Тогда имеем
+1
Z
−1
ln |τ − t|
ϕ(τ) dτ
√
1 − τ
2
=
π
Z
0
ln |cos s − cos σ| · ϕ(cos σ) dσ =
= ln 2 ·
π
Z
0
x(σ) dσ +
π
Z
0
ln
¯
¯
¯
¯
sin
s − σ
2
¯
¯
¯
¯
·x(σ) dσ +
π
Z
0
ln
¯
¯
¯
¯
sin
s + σ
2
¯
¯
¯
¯
·x(σ) dσ.
56
части f (t) и регулярного ядра g(t, τ ) будем требовать также, чтобы
они удовлетворяли условиям
 Z+1          p             Z+1Z+1¯           ¯2 r
                                  ¯ ∂g(t, τ ) ¯    1 − t2
       0    2     2
     |f (t)| 1 − t dt < ∞,        ¯           ¯           dtdτ < ∞. (3.2)
                                  ¯ ∂t ¯           1 − τ2
 −1                                      −1−1

Решение с.и.у. (3.1) будем искать в пространстве L2p [−1, 1] квадра-
тично суммируемых на [−1, 1] с весом p(t) = (1 − t2 )−1/2 функций с
нормой
              +1              1/2
                  Z        2
                1    |ϕ(t)| dt 
    kϕkL2p =        √              ≡ kϕk2p (ϕ ∈ L2p [−1, 1]).  (3.3)
                π      1 − t2
                         −1
                     1
Обозначим через W2q    [−1, 1] пространство абсолютно непрерывных на
[−1, 1] функций f (t), у которых производные квадратично суммируе-
мы на [−1, 1] с весом q(t) = 1/p(t) = (1 − t2 )1/2 ; норму в W2q 1
                                                                    введем
соотношением
               +1              1/2  +1                       1/2
                  Z         2            Z            p
                1    |f (t)| dt       1
    kf kW 1 =       √              +      |f 0 (t)|2 1 − t2 dt ≡
         2q     π       1 − t2         π
                        −1                            −1

                   ≡ kf kL2p + kf 0 kL2q ≡ kf k1;2q           1
                                                        (f ∈ W2q [−1, 1]).          (3.4)
Для дальнейшего изложения существенное значение имеют следующие
утверждения I – IV .
    Утверждение I . Уравнение (3.1) сводится к частному случаю
исследованного в §1 с.и.у. (0.1) при
                                                                             ln 2
 x(σ) = ϕ(cos σ), y(s) = f (cos s), h(s, σ) = g(cos s, cos σ) −                   . (3.5)
                                                                              2
      Действительно, положим в (3.1)
                 t = cos s, τ = cos σ,        −1 6 t, τ 6 1, 0 6 s, σ 6 π.          (3.6)
Тогда имеем
           Z+1                           Zπ
                            ϕ(τ ) dτ
                 ln |τ − t| √        =        ln | cos s − cos σ| · ϕ(cos σ) dσ =
                              1 − τ2
           −1                            0
           Zπ                Zπ       ¯      ¯            Zπ ¯       ¯
                                      ¯ s − σ¯                ¯ s + σ¯
= ln 2 ·        x(σ) dσ +         ln ¯¯sin   ¯ · x(σ) dσ + ln ¯sin   ¯ · x(σ) dσ.
                                           2 ¯                ¯    2 ¯
           0                 0                               0

                                                56

Страницы