Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

следует, что если решение уравнения (3.1) единственно в пространстве
L
2p
[−1, 1], то оно обязательно разрешимо в этом пространстве при лю-
бой правой части из W
1
2q
[−1, 1].
Утверждение IV. Ниже приближенное решение с.и.у. (3.1)
будем искать в виде многочлена
ϕ
n
(t) =
n
X
i=0
α
i
T
i
(t) ≡
n
X
i=0
β
i
t
i
, T
i
(t) = cos i arccos t, (3.11)
коэффициенты которого будем определять исходя из минимально-
сти невязки r
n
≡ f − Aϕ
n
в том или ином смысле. Ясно, что в
силу (3.5), (3.6) полином ϕ
n
(t) = ϕ
n
(cos s) ≡ x
n
(s), являющийся
частным случаем полинома (1.21), будет приближенным решением
частного случая с.и.у. (0.1), эквивалентного уравнению (3.1).
Утверждения I – IV позволяют перенести на с.и.у. (3.1) все ре-
зультаты, полученные в §1 по приближенным методам решения с.и.у.
(0.1). Поэтому дальнейшее изложение будем вести с учетом этого фак-
та, ограничиваясь в основном лишь формулировками ряда результа-
тов.
3.2. Метод наименьших квадратов. Приближенное решение
с.и.у. (3.1) будем искать в виде многочлена (3.11), коэффициенты ко-
торого будем определять по м.н.к. из СЛАУ
n
X
i=0
α
i
( AT
i
, AT
j
)
F
= ( f, AT
j
)
F
, j = 0, n, (3.12)
где
AT
i
= γ
i
T
i
(t) + R(T
i
; t), (3.13)
γ
i
=
½
ln 2
2
при i = 0;
1
2 i
при i = 1, 2 . . .
¾
, (3.14)
а (u, v)
F
– скалярное произведение в пространстве F = W
1
2q
:
(u, v)
F
= (u, v)
2p
+ (u
0
, v
0
)
2q
(u, v ∈ W
1
2q
[−1, 1]). (3.15)
Теорема 3.1. Если с.и.у. (3.1) имеет единственное решение
ϕ ∈ L
2p
при любой правой части f ∈ W
1
2q
, то при любых n = 0, 1, . . .
СЛАУ (3.12) – (3.14) имеет единственное решение α
0
, α
1
, . . . , α
n
.
Приближенные решения (3.1) сходятся в L
2p
к точному решению
ϕ(t) с.и.у. (3.1) со скоростью
kϕ − ϕ
n
k
2p
6 η(A) E
n
(ϕ)
2p
, n = 0, 1, . . . , (3.16)
58
следует, что если решение уравнения (3.1) единственно в пространстве
L2p [−1, 1], то оно обязательно разрешимо в этом пространстве при лю-
                         1
бой правой части из W2q    [−1, 1].
    Утверждение IV. Ниже приближенное решение с.и.у. (3.1)
будем искать в виде многочлена
                 n
                 X                     n
                                       X
      ϕn (t) =           αi Ti (t) ≡         βi ti ,    Ti (t) = cos i arccos t,   (3.11)
                  i=0                  i=0

коэффициенты которого будем определять исходя из минимально-
сти невязки rn ≡ f − Aϕn в том или ином смысле. Ясно, что в
силу (3.5), (3.6) полином ϕn (t) = ϕn (cos s) ≡ xn (s), являющийся
частным случаем полинома (1.21), будет приближенным решением
частного случая с.и.у. (0.1), эквивалентного уравнению (3.1).
     Утверждения I – IV позволяют перенести на с.и.у. (3.1) все ре-
зультаты, полученные в §1 по приближенным методам решения с.и.у.
(0.1). Поэтому дальнейшее изложение будем вести с учетом этого фак-
та, ограничиваясь в основном лишь формулировками ряда результа-
тов.
      3.2. Метод наименьших квадратов. Приближенное решение
с.и.у. (3.1) будем искать в виде многочлена (3.11), коэффициенты ко-
торого будем определять по м.н.к. из СЛАУ
                 n
                 X
                         αi ( ATi , ATj )F = ( f, ATj )F ,         j = 0, n,       (3.12)
                  i=0
где
                              ATi = γi Ti (t) + R(Ti ; t),                         (3.13)
              ½                                                  ¾
                  ln 2                     1
       γi =                 при i = 0;         при i = 1, 2 . . . ,                (3.14)
                   2                      2i
                                                       1
а (u, v)F – скалярное произведение в пространстве F = W2q :
        (u, v)F = (u, v)2p + (u0 , v 0 )2q                      1
                                                       (u, v ∈ W2q [−1, 1]).       (3.15)

     Теорема 3.1. Если с.и.у. (3.1) имеет единственное решение
                                     1
ϕ ∈ L2p при любой правой части f ∈ W2q , то при любых n = 0, 1, . . .
СЛАУ (3.12) – (3.14) имеет единственное решение α0 , α1 , . . . , αn .
Приближенные решения (3.1) сходятся в L2p к точному решению
ϕ(t) с.и.у. (3.1) со скоростью
                  kϕ − ϕn k2p 6 η(A) En (ϕ)2p ,               n = 0, 1, . . . ,    (3.16)

                                                 58

Страницы