Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

где η(A) – число обусловленности оператора A : L
2p
−→ W
1
2q
, а
E
n
(ϕ)
2p
– наилучшее приближение функции ϕ(t) алгебраическими
многочленами степени не выше n в пространстве L
2p
[−1, 1].
Теорему 3.1 несколько дополняет следующая
Теорема 3.2. Пусть выполнены условия: а) f(t) ∈ L
2p
[−1, 1]
и g(t, τ) ∈ L
2ρ
[−1, 1]
2
с ρ(t, τ) = p (t)p (τ); б) с.и.у. (3.1) име-
ет решение ϕ(t) ∈ L
2p
[−1, 1] при данной правой части f(t) ∈
L
2p
[−1, 1]; в) уравнение Aϕ = 0 имеет в L
2p
[−1, 1] лишь триви-
альное решение. Тогда СЛАУ (3.12) – (3.14) при F = L
2p
имеет един-
ственное решение eα
0
, eα
1
, . . . , eα
n
. Приближенные решения
eϕ
n
(t) =
n
X
i=0
eα
i
T
i
(t) (3.17)
сходятся в том смысле, что невязка r
n
≡ f − A eϕ
n
→ 0 при n → ∞
в пространстве L
2p
[−1, 1] со скоростью
kr
n
k
2p
6 kAk · E
n
(ϕ)
2p
, A : L
2p
−→ L
2p
. (3.18)
3.3. Метод ортогональных многочленов. Пусть коэффици-
енты многочлена (3.11) определяются из условий
(r
n
, T
j
)
2p
= 0, j = 0, n, r
n
≡ f − A ϕ
n
. (3.19)
Тогда в силу (3.13), (3.14) получаем СЛАУ
α
j
γ
j
+
n
X
i=0
a
ji
α
i
= y
j
, j = 0, n, (3.20)
где постоянные γ
i
определены в (3.14), а
y
j
=
1
π
+1
Z
−1
y(t)T
j
(t)
√
1 −t
2
dt, a
ji
=
1
π
2
+1
Z
−1
+1
Z
−1
g(t, τ)T
j
(t)T
i
(τ) dtdτ
p
(1 − t
2
)(1 − τ
2
)
. (3.21)
Теорема 3.3. Пусть с.и.у. (3.1) однозначно разрешимо в про-
странстве L
2p
при любой правой части f ∈ W
1
2q
. Тогда при всех n,
начиная с некоторого, СЛАУ (3.19) – (3.21) имеет единственное ре-
шение α
0
, α
1
, . . . , α
n
и приближенные решения (3.11) сходятся к точ-
ному решению ϕ(t) в L
2p
[−1, 1] со скоростью
kϕ − ϕ
n
k
2p
= O {E
n
(ϕ)
2p
}. (3.22)
59
                                                           1
где η(A) – число обусловленности оператора A : L2p −→ W2q    , а
En (ϕ)2p – наилучшее приближение функции ϕ(t) алгебраическими
многочленами степени не выше n в пространстве L2p [−1, 1].
     Теорему 3.1 несколько дополняет следующая
      Теорема 3.2. Пусть выполнены условия: а) f (t) ∈ L2p [−1, 1]
и g(t, τ ) ∈ L2ρ [−1, 1]2 с ρ(t, τ ) = p (t)p (τ ); б) с.и.у. (3.1) име-
ет решение ϕ(t) ∈ L2p [−1, 1] при данной правой части f (t) ∈
L2p [−1, 1]; в) уравнение Aϕ = 0 имеет в L2p [−1, 1] лишь триви-
альное решение. Тогда СЛАУ (3.12) – (3.14) при F = L2p имеет един-
ственное решение α  e0 , α
                         e1 , . . . , α
                                      en . Приближенные решения
                                              n
                                              X
                                   ϕ
                                   en (t) =         α
                                                    ei Ti (t)                          (3.17)
                                              i=0

сходятся в том смысле, что невязка rn ≡ f − A ϕ
                                              en → 0 при n → ∞
в пространстве L2p [−1, 1] со скоростью
                   krn k2p 6 kAk · En (ϕ)2p ,         A : L2p −→ L2p .                 (3.18)

    3.3. Метод ортогональных многочленов. Пусть коэффици-
енты многочлена (3.11) определяются из условий
                    (rn , Tj )2p = 0,     j = 0, n,      rn ≡ f − A ϕn .               (3.19)
Тогда в силу (3.13), (3.14) получаем СЛАУ
                                    n
                                    X
                          αj γj +         aji αi = yj , j = 0, n,                      (3.20)
                                    i=0

где постоянные γi определены в (3.14), а
            Z+1                                Z+1Z+1
        1         y(t)Tj (t)              1             g(t, τ )Tj (t)Ti (τ ) dtdτ
   yj =           √          dt,    aji = 2              p                         .   (3.21)
        π           1 − t2               π                   (1 − t2 )(1 − τ 2 )
            −1                                 −1−1


    Теорема 3.3. Пусть с.и.у. (3.1) однозначно разрешимо в про-
                                                    1
странстве L2p при любой правой части f ∈ W2q          . Тогда при всех n,
начиная с некоторого, СЛАУ (3.19) – (3.21) имеет единственное ре-
шение α0 , α1 , . . . , αn и приближенные решения (3.11) сходятся к точ-
ному решению ϕ(t) в L2p [−1, 1] со скоростью
                            kϕ − ϕn k2p = O {En (ϕ)2p } .                              (3.22)


                                              59

Страницы