Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 58 стр.

Заменяя в последнем интеграле σ на −σ и используя четность функции
x(σ) и 2π-периодичность подынтегральных функций, находим
                              Z+1
                       1                       ϕ(τ )dτ         ln 2
               Sϕ ≡ −               ln |τ − t| √        = Sx −      ρx,                 (3.7)
                      2π                         1 − τ2         2
                              −1

где операторы S и ρ определены в §1. С другой стороны, в силу (3.5)
для регулярного интеграла из (3.1) имеем
          Z+1                              Z2π
      1         g(t, τ )ϕ(τ ) dτ    1
 Rϕ ≡              √             =               g(cos s, cos σ)x(σ) dσ ≡ ρ(gx). (3.8)
      π               1 − τ2       2π
          −1                               0

Из соотношений (3.6) – (3.8) следует требуемое утверждение.
     Утверждение II. В силу формул (3.5), (3.6) имеем
               kϕkL2p [−1,1] = kxkL2 [0,2π] ,        kf kW 1 [−1,1] = kykW 1 [0,2π] ,   (3.9)
                                                           2q                 2

                                     1
т.е. пространства L2p [−1, 1] и W2q    [−1, 1] с нормами (3.3), (3.4) изо-
морфны и изометричны пространствам четных 2π – периодических
функций L2 [0, 2π] и W21 [0, 2π] соответственно с нормами, введенны-
ми в §1.
     Утверждение III. В силу утверждений I и II и соответству-
ющих результатов раздела 1.1 оператор A = S + R можно рассмат-
ривать как линейный оператор из пространства L2p [−1, 1] в про-
              1
странство W2q   . При этом ясно, что оператор R является вполне
                                          1
непрерывным как оператор из L2p в W2q       , а слабо сингулярный опера-
                                                    1
тор S является лишь непрерывным из L2p в W2q          . Кроме того, легко
                                               1
показать, что оператор S : L2p −→ W2q            линейно обратим и для
обратного оператора S −1 : W2q    1
                                    −→ L2p справедлива оценка
                                               p            p
      −1         −1       1
    kS k = 2, S : W2q −→ L2p ( p = 1/ 1 − t , q = 1 − t2 ).
                                                      2

                                                                   (3.10)
Оператор S обладает также многими другими свойствами опера-
тора S, введенного и исследованного в §1.
     Таким образом, с.и.у. (3.1) можно рассматривать как операторное
уравнение, приводящееся к уравнению второго рода. Поэтому, если
уравнение (3.1) однозначно разрешимо в L2p [−1, 1] при любой пра-
                 1
вой части из W2q   [−1, 1] , то в силу известных результатов по теории
операторных уравнений в B-пространствах (см., напр., [55]) существу-
ет ограниченный обратный A−1 : W2q      1
                                          −→ L2p Отсюда, в частности,

                                                57