Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Следствие. Если выполнены условия (3.25), то метод коллока-
ции (3.1), (3.11), (3.26), (3.27) сходится со скоростью
kϕ − ϕ
n
k
2p
= O
¡
n
−r−α
¢
, r + α > 0. (3.29)
Запишем СЛАУ (3.26) в несколько другом, но эквивалентном ви-
де. Введем узлы Чебышева I рода
τ
k
= cos
2k + 1
2n + 2
π, k = 0, n. (3.30)
Тогда коэффициенты α
i
многочлена (3.11) можно представить в виде
α
i
=
2
π
+1
Z
−1
ϕ
n
(t)T
j
(t)
√
1 − t
2
dt =
2
n + 1
n
X
k=0
ϕ
n
(τ
k
)T
i
(τ
k
) =
=
2
n + 1
n
X
k=0
ϕ
n
(cos
2k + 1
2n + 2
π) cos
(2k + 1)iπ
2n + 2
, i = 0, n. (3.31)
В силу (3.31) соотношения (3.11) и (3.26) принимают вид
ϕ
n
(t) =
n
X
k=0
ϕ
n
(τ
k
)l
k
(t), (3.11
0
)
n
X
k=0
x
n
(τ
k
){S(l
k
; t
j
) + R(l
k
; t
j
)} = f(t
j
), j = 0, n, (3.26
0
)
где l
k
(t) – фундаментальные многочлены Лагранжа по узлам (3.30).
Известно, что
l
k
(t) =
n
Y
l=0
l6=k
t − τ
l
τ
k
− τ
l
=
T
n+1
(t)
(t − τ
k
)T
0
n+1
(τ
k
)
=
=
(−1)
k+1
n + 1
·
T
n+1
(t)
t − τ
k
· sin
2k + 1
2n + 2
π =
=
2
n + 1
(
1
2
+
n
X
m=1
T
m
(t)T
m
(τ
k
)
)
, k = 0, n, (3.32)
Поэтому интегралы S(l
k
; t
j
) вычисляются точно. Действительно, с по-
мощью (3.32) и (3.14) легко находим (см. также с.46 [69])
S(l
k
; t
j
) =
2
n + 1
(
1
2
· S(1; t
j
) +
n
X
m=1
T
m
(τ
k
)S(T
m
; t
j
)
)
=
61
    Следствие. Если выполнены условия (3.25), то метод коллока-
ции (3.1), (3.11), (3.26), (3.27) сходится со скоростью
                                    ¡     ¢
                  kϕ − ϕn k2p = O n−r−α , r + α > 0.      (3.29)

     Запишем СЛАУ (3.26) в несколько другом, но эквивалентном ви-
де. Введем узлы Чебышева I рода
                                         2k + 1
                              τk = cos          π, k = 0, n.                     (3.30)
                                         2n + 2
Тогда коэффициенты αi многочлена (3.11) можно представить в виде
                       Z+1                                 n
               2             ϕn (t)Tj (t)       2 X
          αi =                √           dt =         ϕn (τk )Ti (τk ) =
               π                 1 − t2        n+1
                       −1                          k=0

                  n
        2 X         2k + 1        (2k + 1)iπ
     =      ϕn (cos        π) cos            ,                       i = 0, n.   (3.31)
       n+1          2n + 2          2n + 2
                 k=0
В силу (3.31) соотношения (3.11) и (3.26) принимают вид
                                           n
                                           X
                                ϕn (t) =         ϕn (τk )lk (t),                 (3.110 )
                                           k=0
       n
       X
             xn (τk ){S(lk ; tj ) + R(lk ; tj )} = f (tj ),        j = 0, n,     (3.260 )
       k=0
где lk (t) – фундаментальные многочлены Лагранжа по узлам (3.30).
Известно, что
                            n
                            Y  t − τl        Tn+1 (t)
                   lk (t) =            =           0 (τ ) =
                              τk − τ l   (t − τk )Tn+1 k
                               l=0
                               l6=k

                     (−1)k+1 Tn+1 (t)       2k + 1
                   =        ·         · sin        π=
                      n+1     t − τk        2n + 2
                      (     n
                                             )
                   2    1   X
               =          +    Tm (t)Tm (τk ) , k = 0, n,                        (3.32)
                 n + 1 2 m=1
Поэтому интегралы S(lk ; tj ) вычисляются точно. Действительно, с по-
мощью (3.32) и (3.14) легко находим (см. также с.46 [69])
                        (                   n
                                                                  )
                     2    1                X
      S(lk ; tj ) =          · S(1; tj ) +     Tm (τk )S(Tm ; tj ) =
                    n+1 2                  m=1

                                             61

Страницы