Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

=
1
n + 1
(
ln 2
2
+
n
X
m=1
1
m
T
m
(τ
k
)T
m
(t
j
)
)
, (3.33)
где узлы τ
k
и t
j
определены в формулах соответственно (3.30) и (3.27).
Ясно, что в силу (3.33) СЛАУ (3.26
0
) несколько конкретизируется.
3.5. Метод механических квадратур. В СЛАУ (3.26
0
) коэф-
фициенты R(l
k
; t
j
) вычислим приближенно по квадратурной форму-
ле Гаусса – Чебышева с узлами (3.30). Тогда в силу соотношений
l
k
(τ
l
) = δ
kl
, где δ
kl
– символ Кронекера, имеем
R(l
k
; t
j
) =
1
π
+1
Z
−1
g(t
j
, τ)l
k
(τ)
√
1 − τ
2
dτ ≈
1
n + 1
g(t
j
, τ
k
), k = 0, n, j = 0, n.
(3.34)
Поэтому вместо (3.26
0
) получаем следующую СЛАУ относительно
приближенных значений искомой функции в узлах (3.30):
n
X
k=0
ϕ
n
(τ
k
)
½
S(l
k
; t
j
) +
1
n + 1
g(t
j
, τ
k
)
¾
= f(t
j
), j = 0, n. (3.35)
Тогда в силу (3.33) имеем
1
n + 1
n
X
k=0
ϕ
n
(τ
k
)
(
ln 2
2
+
n
X
m=1
T
m
(τ
k
)T
m
(t
j
)
m
+ g(t
j
, τ
k
)
)
= f(t
j
), j = 0, n,
(3.36)
где узлы t
j
и τ
k
определены в (3.27) и (3.30).
Системы (3.35) и (3.36) представляют собой СЛАУ м.м.к. для
с.и.у. (3.1). Для этого уравнения приведем еще одну СЛАУ метода
квадратур. С этой целью в (3.26) коэффициенты R(T
i
; t
j
) вычислим
по формуле Гаусса – Чебышева с узлами (3.30):
R(T
i
; t
j
) =
1
π
+1
Z
−1
g(t
j
, τ)T
i
(τ)
√
1 − τ
2
dτ ≈
1
n + 1
n
X
k=0
g(t
j
, τ
k
)T
i
(τ
k
). (3.37)
Из (3.26) и (3.37) находим требуемую систему
n
X
i=0
α
i
(
γ
i
T
i
(t
j
) +
1
n + 1
n
X
k=0
g(t
j
, τ
k
)T
i
(τ
k
)
)
= f(t
j
), j = 0, n, (3.38)
где α
i
, γ
i
, t
j
, τ
k
определены в соотношениях соответственно (3.11), (3.14),
(3.27), (3.30).
62
                                   (             n
                                                                      )
                              1          ln 2   X   1
                        =                     +       Tm (τk )Tm (tj ) ,             (3.33)
                             n+1          2     m=1
                                                    m
где узлы τk и tj определены в формулах соответственно (3.30) и (3.27).
Ясно, что в силу (3.33) СЛАУ (3.260 ) несколько конкретизируется.
         3.5. Метод механических квадратур. В СЛАУ (3.260 ) коэф-
фициенты R(lk ; tj ) вычислим приближенно по квадратурной форму-
ле Гаусса – Чебышева с узлами (3.30). Тогда в силу соотношений
lk (τ l ) = δkl , где δkl – символ Кронекера, имеем
                        Z+1
                    1         g(tj , τ )lk (τ )      1
    R(lk ; tj ) =               √               dτ ≈   g(tj , τk ), k = 0, n, j = 0, n.
                    π              1 − τ2           n+1
                        −1
                                                                  (3.34)
                                     0
    Поэтому вместо (3.26 ) получаем следующую СЛАУ относительно
приближенных значений искомой функции в узлах (3.30):
   Xn         ½                             ¾
                              1
      ϕn (τk ) S(lk ; tj ) +     g(tj , τk ) = f (tj ), j = 0, n. (3.35)
                             n+1
     k=0

Тогда в силу (3.33) имеем
        n
                    (         n
                                                               )
   1   X              ln 2   X   Tm (τk )Tm (tj )
           ϕn (τk )        +                      + g(tj , τk ) = f (tj ), j = 0, n,
n+1                    2     m=1
                                       m
       k=0
                                                                             (3.36)
где узлы tj и τk определены в (3.27) и (3.30).
      Системы (3.35) и (3.36) представляют собой СЛАУ м.м.к. для
с.и.у. (3.1). Для этого уравнения приведем еще одну СЛАУ метода
квадратур. С этой целью в (3.26) коэффициенты R(Ti ; tj ) вычислим
по формуле Гаусса – Чебышева с узлами (3.30):
                        Z+1                                  n
                  1           g(tj , τ )Ti (τ )       1 X
    R(Ti ; tj ) =               √               dτ ≈         g(tj , τk )Ti (τk ).    (3.37)
                  π                1 − τ2            n+1
                        −1                               k=0

Из (3.26) и (3.37) находим требуемую систему
  n
       (                    n
                                                 )
 X                      1 X
     αi γi Ti (tj ) +         g(tj , τk )Ti (τk ) = f (tj ),               j = 0, n, (3.38)
 i=0
                      n + 1
                                     k=0

где αi , γi , tj , τk определены в соотношениях соответственно (3.11), (3.14),
(3.27), (3.30).

                                                 62

Страницы