Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

kL
n
k
W
1
2q
→W
1
2q
< ∞, kL
n
k
C
1
→W
1
2q
6 const < ∞,
kϕ − L
n
ϕk
1;2q
= kϕ − L
n
ϕk
2p
+ k
d
dt
(ϕ − L
n
ϕ)k
2q
6
6 2 E
n
(ϕ)
∞
+ (π + 1/
√
2) E
n−1
(ϕ
0
)
∞
, ϕ
0
∈ C = C[−1, 1].
Лемма 3.2. Для любого алгебраического многочлена Q
n
(t) сте-
пени не выше n справедливо неравенство
kQ
0
n
(t)k
2q
6 nkQ
n
(t)k
2p
, p(t) = (1 − t
2
)
−1/2
, q(t) = (1 − t
2
)
1/2
.
3.6. Еще три схемы метода квадратур. Для с.и.у. (3.1) при-
ведем еще три СЛАУ м.м.к.:
−
1
2(n + 1)
n
X
k=0
k6=j
ϕ
n
(τ
k
) ln |τ
k
− τ
j
| +
1
n + 1
n
X
k=0
g(τ
j
, τ
k
)ϕ
n
(τ
k
) =
= f(τ
j
), j = 0, n, (3.41)
где узлы коллокации и квадратур совпадают и определены в (3.30);
−
1
2(n + 1)
n
X
k=0
ϕ
n
(τ
k
) ln |τ
k
− t
j
| +
1
n + 1
n
X
k=0
g(t
j
, τ
k
)ϕ
n
(τ
k
) =
= f(t
j
), j = 0, n, (3.42)
где узлы коллокации и квадратур определены соответственно в (3.27)
и (3.30).
Системы (3.41) и (3.42) несколько обобщает следующая СЛАУ
−
1
2(n + 1)
n
X
k=0
0
ϕ
n
(τ
k
) ln |τ
k
− t
j
| +
1
n + 1
n
X
k=0
g(t
j
, τ
k
)ϕ
n
(τ
k
) =
= f(t
j
), j = 0, n, (3.43)
где узлы коллокации могут и не совпадать с узлами квадратур τ
j
, а
штрих у знака суммы означает, что соответствующее слагаемое при
|τ
k
− t
j
| < δ опускается; здесь δ – некоторое положительное число,
выбираемое в зависимости от точности вычислений.
Замечание 3.1. Системами (3.41) – (3.43) удобно пользоваться в
случае, когда функции f(t) и g(t, τ) обладают небольшой гладкостью.
64
            kLn kW 1 →W 1 < ∞,          kLn kC 1 →W 1 6 const < ∞,
                      2q   2q                          2q

                                           d
          kϕ − Ln ϕk1;2q = kϕ − Ln ϕk2p + k (ϕ − Ln ϕ)k2q 6
                                           dt
                            √
      6 2 En (ϕ)∞ + (π + 1/ 2) En−1 (ϕ )∞ , ϕ0 ∈ C = C[−1, 1].
                                        0


    Лемма 3.2. Для любого алгебраического многочлена Qn (t) сте-
пени не выше n справедливо неравенство
    kQ0n (t)k2q 6 nkQn (t)k2p , p(t) = (1 − t2 )−1/2 , q(t) = (1 − t2 )1/2 .

    3.6. Еще три схемы метода квадратур. Для с.и.у. (3.1) при-
ведем еще три СЛАУ м.м.к.:

                X n                                            n
          1                                 1 X
     −            ϕn (τk ) ln |τk − τj | +      g(τj , τk )ϕn (τk ) =
       2(n + 1)                            n+1
                 k=0                                          k=0
                 k6=j

                                = f (τj ),        j = 0, n,               (3.41)
где узлы коллокации и квадратур совпадают и определены в (3.30);

                X n                                            n
          1                                 1 X
     −            ϕn (τk ) ln |τk − tj | +      g(tj , τk )ϕn (τk ) =
       2(n + 1)                            n+1
                 k=0                                          k=0

                                = f (tj ),        j = 0, n,               (3.42)
где узлы коллокации и квадратур определены соответственно в (3.27)
и (3.30).
     Системы (3.41) и (3.42) несколько обобщает следующая СЛАУ

                X n                                            n
          1       0                           1 X
     −              ϕn (τk ) ln |τk − tj | +      g(tj , τk )ϕn (τk ) =
       2(n + 1)                              n+1
                 k=0                                          k=0

                                = f (tj ),        j = 0, n,               (3.43)
где узлы коллокации могут и не совпадать с узлами квадратур τj , а
штрих у знака суммы означает, что соответствующее слагаемое при
|τk − tj | < δ опускается; здесь δ – некоторое положительное число,
выбираемое в зависимости от точности вычислений.
    Замечание 3.1. Системами (3.41) – (3.43) удобно пользоваться в
случае, когда функции f (t) и g(t, τ ) обладают небольшой гладкостью.

                                             64

Страницы