Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

а f
ε
(t) и g
ε
(t, τ) в некотором смысле аппроксимируют функции f(t) и
g(t, τ) соответственно.
Теорема 3.7. Пусть выполнены условия:
+1
Z
−1
|f(t) − f
ε
(t)|
2
(1 − t
2
)
−1/2
dt 6 ε
2
,
+1
Z
−1
|f
0
(t) − f
0
ε
(t)|
2
(1 − t
2
)
1/2
dt 6 ε
2
;
+1
Z
−1
+1
Z
−1
|g(t, τ) − g
ε
(t, τ)|
2
(1 − t
2
)
−1/2
(1 − τ
2
)
−1/2
dt dτ 6 ε
2
,
+1
Z
−1
+1
Z
−1
|g
0
t
(t, τ) − g
ε
0
t
(t, τ)|
2
(1 − t
2
)
1/2
(1 − τ
2
)
−1/2
dt dτ 6 ε
2
.
Если задача (3.1) поставлена корректно, то существует такое
ε
0
> 0, что при всех ε ∈ (0, ε
0
) задача решения (3.50) поставлена
также корректно; в частности, при ε → +0 для решений ϕ(t) и
ϕ
ε
(t) уравнений соответственно (3.1) и (3.50) справедлива оценка
kϕ − ϕ
ε
k
2p
= O (ε) . (3.51)
Пусть теперь
g(t, τ) ≈
N
X
k=1
A
k
(t)B
k
(τ) ≡ g
N
(t, τ),
где g
N
(t, τ) – вырожденное аппроксимирующее ядро. Тогда при f
ε
(t) ≡
f(t) и ε = ε
n
→ 0, N → ∞, из теоремы 3.7 следует сходимость м.в.я.
для с.и.у. (3.1).
3.9. Равномерная сходимость приближенных методов как
следствие сходимости в среднем. Имеет место следующая
Теорема 3.8. В условиях (3.24), (3.29), (3.40), (3.49) методы со-
ответственно ортогональных многочленов, коллокации, механиче-
ских квадратур и подобластей при r + α > 1/2 сходятся равномерно
со скоростью
kϕ − ϕ
n
k
∞
= O
³
n
−r−α+1/2
´
. (3.52)
66
а fε (t) и gε (t, τ ) в некотором смысле аппроксимируют функции f (t) и
g(t, τ ) соответственно.
    Теорема 3.7. Пусть выполнены условия:
                       Z+1
                             |f (t) − fε (t)|2 (1 − t2 )−1/2 dt 6 ε2 ,
                       −1

                        Z+1
                              |f 0 (t) − fε0 (t)|2 (1 − t2 )1/2 dt 6 ε2 ;
                       −1

       Z+1Z+1
                |g(t, τ ) − gε (t, τ )|2 (1 − t2 )−1/2 (1 − τ 2 )−1/2 dt dτ 6 ε2 ,
       −1−1

       Z+1Z+1
                |gt0 (t, τ ) − gε 0t (t, τ )|2 (1 − t2 )1/2 (1 − τ 2 )−1/2 dt dτ 6 ε2 .
       −1−1

      Если задача (3.1) поставлена корректно, то существует такое
ε0 > 0, что при всех ε ∈ (0, ε0 ) задача решения (3.50) поставлена
также корректно; в частности, при ε → +0 для решений ϕ(t) и
ϕε (t) уравнений соответственно (3.1) и (3.50) справедлива оценка
                                    kϕ − ϕε k2p = O (ε) .                                 (3.51)
    Пусть теперь
                                      N
                                      X
                        g(t, τ ) ≈          Ak (t)Bk (τ ) ≡ gN (t, τ ),
                                      k=1

где gN (t, τ ) – вырожденное аппроксимирующее ядро. Тогда при fε (t) ≡
f (t) и ε = εn → 0, N → ∞, из теоремы 3.7 следует сходимость м.в.я.
для с.и.у. (3.1).
    3.9. Равномерная сходимость приближенных методов как
следствие сходимости в среднем. Имеет место следующая
     Теорема 3.8. В условиях (3.24), (3.29), (3.40), (3.49) методы со-
ответственно ортогональных многочленов, коллокации, механиче-
ских квадратур и подобластей при r + α > 1/2 сходятся равномерно
со скоростью                       ³           ´
                                      −r−α+1/2
                   kϕ − ϕn k∞ = O n              .              (3.52)

                                                66

Страницы