Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Это утверждение, как и аналогичное утверждение из §1, является
следствием сходимости в пространстве L
2p
[−1, 1] ; самостоятельное (от
§1) доказательство (3.52) может быть осуществлено с помощью оценок
(3.24), (3.29), (3.40), (3.49) и легко доказываемого неравенства
kQ
n
k
∞
= O
¡
√
n
¢
kQ
n
k
2p
, Q
n
(t) ≡
n
X
k=0
a
k
t
k
, a
k
∈ IR. (3.53)
Однако в ряде случаев можно получить и более сильные резуль-
таты. Приведем лишь один из них:
Теорема 3.9. Пусть с.и.у. (3.1) однозначно разрешимо в L
2p
[−1, 1]
при любой правой части из W
1
2q
[−1, 1]. Если выполнено условие (3.25),
то методы коллокации и подобластей сходятся равномерно со ско-
ростью
kϕ − ϕ
n
k
∞
= O
¡
n
−r−α
ln n
¢
, r + α > 0. (3.54)
В условиях следствия теоремы 3.5 с такой же скоростью сходится
и м.м.к.; в условиях (3.24), (3.25) такое утверждение справедливо
также для метода ортогональных многочленов.
3.10. Дополнения. Завершая этот параграф, отметим, что для
с.и.у. (3.1) справедливы утверждения, аналогичные приведенным в
пунктах 1.11 – 1.14 для с.и.у. (0.1). В частности, рассмотренные в этом
параграфе методы являются устойчивыми и хорошо обусловленными,
если корректным и соответственно хорошо обусловленным является
точное уравнение (3.1).
В заключение рассмотрим систему с.и.у. вида
1
2π
+1
Z
−1
ln
1
|τ −t|
·
ϕ(τ) dτ
√
1 − τ
2
+
1
π
+1
Z
−1
g(t, τ )
ϕ(τ) dτ
√
1 − τ
2
= f(t) + F, (а)
1
π
+1
Z
−1
ϕ(τ)(1 − τ
2
)
−1/2
dτ = D, (б)
где ϕ – искомая функция, g и f – известные функции, F – неизвест-
ный, а D – известный параметры. Эта система встречается в ряде
прикладных задач (см., напр., [82, 84, 86]).
Для системы (а) – (б) справедливы результаты, вполне аналогич-
ные полученным в предыдущих пунктах этого параграфа для с.и.у.
(3.1). Для иллюстрации приведем лишь следующий результат.
67
     Это утверждение, как и аналогичное утверждение из §1, является
следствием сходимости в пространстве L2p [−1, 1] ; самостоятельное (от
§1) доказательство (3.52) может быть осуществлено с помощью оценок
(3.24), (3.29), (3.40), (3.49) и легко доказываемого неравенства
                                                         n
                                                         X
                 ¡√ ¢
      kQn k∞ = O   n kQn k2p ,               Qn (t) ≡          ak tk , ak ∈ IR.       (3.53)
                                                         k=0

    Однако в ряде случаев можно получить и более сильные резуль-
таты. Приведем лишь один из них:
     Теорема 3.9. Пусть с.и.у. (3.1) однозначно разрешимо в L2p [−1, 1]
                            1
при любой правой части из W2q [−1, 1]. Если выполнено условие (3.25),
то методы коллокации и подобластей сходятся равномерно со ско-
ростью                     ¡            ¢
            kϕ − ϕn k∞ = O n−r−α ln n ,       r + α > 0.       (3.54)
В условиях следствия теоремы 3.5 с такой же скоростью сходится
и м.м.к.; в условиях (3.24), (3.25) такое утверждение справедливо
также для метода ортогональных многочленов.
      3.10. Дополнения. Завершая этот параграф, отметим, что для
с.и.у. (3.1) справедливы утверждения, аналогичные приведенным в
пунктах 1.11 – 1.14 для с.и.у. (0.1). В частности, рассмотренные в этом
параграфе методы являются устойчивыми и хорошо обусловленными,
если корректным и соответственно хорошо обусловленным является
точное уравнение (3.1).
      В заключение рассмотрим систему с.и.у. вида
           Z+1                                 Z+1
       1               1     ϕ(τ ) dτ   1                     ϕ(τ ) dτ
                 ln         ·√        +              g(t, τ ) √        = f (t) + F,      (а)
      2π            |τ − t|    1 − τ2 π                         1 − τ2
           −1                                 −1

                              Z+1
                          1
                                    ϕ(τ )(1 − τ 2 )−1/2 dτ = D,                          (б)
                          π
                              −1
где ϕ – искомая функция, g и f – известные функции, F – неизвест-
ный, а D – известный параметры. Эта система встречается в ряде
прикладных задач (см., напр., [82, 84, 86]).
     Для системы (а) – (б) справедливы результаты, вполне аналогич-
ные полученным в предыдущих пунктах этого параграфа для с.и.у.
(3.1). Для иллюстрации приведем лишь следующий результат.


                                             67

Страницы