Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

При этом системы (3.42) и (3.43) при τ
k
6= t
j
(k, j = 0, n) можно
рассматривать также как СЛАУ м.д.в. для с.и.у. (3.1).
3.7. Метод подобластей. Пусть коэффициенты многочлена (3.11)
определяются из условий
Z
t
k
t
k−1
r
n
(t) dt = 0, k = 1, n + 1, r
n
(t) ≡ f − Aϕ
n
, (3.44)
где t
k
– некоторая система узлов из [−1, 1]. Эти условия эквивалентны
СЛАУ
n
X
i=0
α
i
(γ
i
a
ik
+ b
ik
) = f
k
, k = 1, n + 1, (3.45)
где γ
i
определены в (3.14), а
a
ik
=
Z
t
k
t
k−1
T
i
(t) dt, b
ik
=
Z
t
k
t
k−1
R(T
i
; t) dt, f
k
=
Z
t
k
t
k−1
f(t) dt. (3.46)
Теорема 3.6. Пусть узлы t
k
определены по любой из формул
(a) t
k
= cos
2k + 1
2n + 4
π; (б) t
k
= cos
kπ
n + 1
, k = 0, n + 1. (3.47)
Тогда в условиях теоремы 3.4 м.п. (3.1), (3.11), (3.44) – (3.47) схо-
дится в пространстве L
2p
[−1, 1] со скоростью
kϕ − ϕ
n
k
2p
= O {E
n
(ϕ)
∞
}. (3.48)
Следствие. Если выполнено условие (3.25) , то метод подобла-
стей сходится со скоростью
kϕ − ϕ
n
k
2p
= O
¡
n
−r−α
¢
, r + α > 0. (3.49)
Отметим, что здесь при доказательстве существенным образом
использована теорема 14 гл.1 [51] об аппроксимативных свойствах опе-
раторов м.п. по узлам (3.47).
3.8. Устойчивость решений и метод вырожденных ядер.
Наряду с с.и.у. (3.1) рассмотрим уравнение вида
A
ε
ϕ ≡ Sϕ + R
ε
ϕ = f
ε
, 0 < ε < ∞, (3.50)
где
R
ε
ϕ =
1
π
+1
Z
−1
g
ε
(t, τ) (ϕ(τ)/
p
1 − τ
2
) dτ,
65
При этом системы (3.42) и (3.43) при τk 6= tj (k, j = 0, n) можно
рассматривать также как СЛАУ м.д.в. для с.и.у. (3.1).
    3.7. Метод подобластей. Пусть коэффициенты многочлена (3.11)
определяются из условий
          Z    tk
                     rn (t) dt = 0, k = 1, n + 1,        rn (t) ≡ f − Aϕn ,                (3.44)
              tk−1

где tk – некоторая система узлов из [−1, 1]. Эти условия эквивалентны
СЛАУ              n
                 X
                    αi (γi aik + bik ) = fk , k = 1, n + 1,     (3.45)
                         i=0
где γi определены в (3.14), а
          Z tk                  Z           tk                        Z   tk
    aik =      Ti (t) dt, bik =                  R(Ti ; t) dt, fk =            f (t) dt.   (3.46)
               tk−1                       tk−1                        tk−1


      Теорема 3.6. Пусть узлы tk определены по любой из формул
               2k + 1                  kπ
      (a) tk = cos    π; (б) tk = cos      , k = 0, n + 1.     (3.47)
               2n + 4                 n+1
Тогда в условиях теоремы 3.4 м.п. (3.1), (3.11), (3.44) – (3.47) схо-
дится в пространстве L2p [−1, 1] со скоростью
                               kϕ − ϕn k2p = O {En (ϕ)∞ } .                                (3.48)

    Следствие. Если выполнено условие (3.25), то метод подобла-
стей сходится со скоростью
                              ¡     ¢
               kϕ − ϕn k2p = O n−r−α , r + α > 0.        (3.49)

    Отметим, что здесь при доказательстве существенным образом
использована теорема 14 гл.1 [51] об аппроксимативных свойствах опе-
раторов м.п. по узлам (3.47).
    3.8. Устойчивость решений и метод вырожденных ядер.
Наряду с с.и.у. (3.1) рассмотрим уравнение вида
                          Aε ϕ ≡ Sϕ + Rε ϕ = fε ,          0 < ε < ∞,                      (3.50)
где
                                   Z+1                     p
                               1
                        Rε ϕ =           gε (t, τ ) (ϕ(τ )/ 1 − τ 2 ) dτ,
                               π
                                   −1

                                                  65

Страницы