Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Следует отметить, что системы (3.36) и (3.38) эквивалентны в том
смысле, что они разрешимы (или неразрешимы) одновременно. Кроме
того, если {ϕ
n
(τ
k
)}
n
0
– решение СЛАУ (3.36), то решение СЛАУ (3.38)
можно определить по формуле (3.31); если же {α
i
}
n
0
– решение СЛАУ
(3.38), то решение СЛАУ (3.36) можно определить по формуле
ϕ
n
(τ
k
) =
n
X
i=0
α
i
T
i
(τ
k
), k = 0, n.
Такое же замечание справедливо относительно СЛАУ м.к. (3.26) и
(3.26
0
).
Теорема 3.5. Пусть с.и.у. (3.1) однозначно разрешимо в L
2p
[−1, 1]
при любой правой части из W
1
2q
[−1, 1]. Если f
0
(t) ∈ C[−1, 1], g
0
t
(t, τ)
∈ C[−1, 1]
2
, то при всех n > n
0
(n
0
определяется свойствами функ-
ции g(t, τ) , в частности, n
0
= 0 при g(t, τ) ≡ 0 ) каждая из СЛАУ (3.38)
и (3.36) однозначно разрешима. Приближенные решения, определяе-
мые формулами соответственно (3.11) и (3.11
0
), сходятся к точно-
му решению ϕ(t) с.и.у. (3.1) в пространстве L
2p
[−1, 1] со скоростью
kϕ −ϕ
n
k
2p
= O
©
E
n
(f
0
)
∞
+ E
t
n
(g
0
t
)
∞
+ E
τ
n
(g
0
t
)
∞
+ E
τ
n
(g)
∞
ª
, (3.39)
где E
t
n
(ψ)
∞
( соответственно E
τ
n
(ψ)
∞
) – наилучшее равномер-
ное приближение функции ψ(t, τ) ∈ C[−1, 1]
2
алгебраическими мно-
гочленами степени не выше n по переменной t (по τ ) равномерно
относительно τ (относительно t ).
Следствие. Если f(t) ∈ W
r+1
H
α
[−1, 1] и g(t, τ) ∈ W
r+1
H
α
[−1, 1]
(по каждой из переменных в отдельности равномерно относительно
другой из них), то м.м.к. (3.1), (3.11), (3.11
0
), (3.36), (3.38) сходит-
ся в пространстве L
2p
[−1, 1] со скоростью
kϕ −ϕ
n
k
2p
= O
¡
n
−r−α
¢
, r + α > 0. (3.40)
Теоремы 3.4 и 3.5 могут быт ь доказаны также самостоятельно,
т.е. независимо от результатов §1. Это можно осуществить с помощью
теорем 7 и 14 гл. 1 [25] и следующих лемм.
Лемма 3.1. Пусть L
n
ϕ = L
n
(ϕ, t) – алгебраический интерполя-
ционный многочлен Лагранжа для функции ϕ ∈ C[−1, 1] по любой из
систем узлов (3.27). Тогда для любых n ∈ N справедливы соотноше-
ния
kL
n
k
L
2p
→L
2p
= ∞, kL
n
k
C→L
2p
= 1,
63
     Следует отметить, что системы (3.36) и (3.38) эквивалентны в том
смысле, что они разрешимы (или неразрешимы) одновременно. Кроме
того, если {ϕn (τk )}n0 – решение СЛАУ (3.36), то решение СЛАУ (3.38)
можно определить по формуле (3.31); если же {αi }n0 – решение СЛАУ
(3.38), то решение СЛАУ (3.36) можно определить по формуле
                                 n
                                 X
                    ϕn (τk ) =         αi Ti (τk ),   k = 0, n.
                                 i=0

Такое же замечание справедливо относительно СЛАУ м.к. (3.26) и
(3.260 ).
     Теорема 3.5. Пусть с.и.у. (3.1) однозначно разрешимо в L2p [−1, 1]
                                1
при любой правой части из W2q     [−1, 1]. Если f 0 (t) ∈ C[−1, 1], gt0 (t, τ )
∈ C[−1, 1]2 , то при всех n > n0 (n0 определяется свойствами функ-
ции g(t, τ ) , в частности, n0 = 0 при g(t, τ ) ≡ 0 ) каждая из СЛАУ (3.38)
и (3.36) однозначно разрешима. Приближенные решения, определяе-
мые формулами соответственно (3.11) и (3.110 ), сходятся к точно-
му решению ϕ(t) с.и.у. (3.1) в пространстве L2p [−1, 1] со скоростью
                     ©                                              ª
   kϕ − ϕn k2p = O En (f 0 )∞ + Ent (gt0 )∞ + Enτ (gt0 )∞ + Enτ (g)∞ , (3.39)
где Ent (ψ)∞ ( соответственно Enτ (ψ)∞ ) – наилучшее равномер-
ное приближение функции ψ(t, τ ) ∈ C[−1, 1]2 алгебраическими мно-
гочленами степени не выше n по переменной t (по τ ) равномерно
относительно τ (относительно t ).
     Следствие. Если f (t) ∈ W r+1 H α [−1, 1] и g(t, τ ) ∈ W r+1 H α [−1, 1]
(по каждой из переменных в отдельности равномерно относительно
другой из них), то м.м.к. (3.1), (3.11), (3.110 ), (3.36), (3.38) сходит-
ся в пространстве L2p [−1, 1] со скоростью
                                ¡       ¢
                kϕ − ϕn k2p = O n−r−α , r + α > 0.                    (3.40)

      Теоремы 3.4 и 3.5 могут быт ь доказаны также самостоятельно,
т.е. независимо от результатов §1. Это можно осуществить с помощью
теорем 7 и 14 гл. 1 [25] и следующих лемм.
    Лемма 3.1. Пусть Ln ϕ = Ln (ϕ, t) – алгебраический интерполя-
ционный многочлен Лагранжа для функции ϕ ∈ C[−1, 1] по любой из
систем узлов (3.27). Тогда для любых n ∈ N справедливы соотноше-
ния
                 kLn kL2p →L2p = ∞, kLn kC→L2p = 1,


                                          63

Страницы