Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Приближенное решение системы (а) – (б) будем искать в виде
вектор-функции ~ϕ
n
(t) = {ϕ(t); F
n
} с компонентами F
n
∈ IR и
ϕ
n
(τ) =
n
X
k=0
δ
k
T
n+1
(τ)
(τ − τ
k
)T
0
n+1
(τ
k
)
, τ
k
= cos
2k + 1
2n + 2
π, (в)
где δ
0
, δ
1
, . . . , δ
n
– неизвестные параметры. Их и приближенное значе-
ние F
n
параметра F будем определять из СЛАУ
n
X
k=0
A
k
(t
j
) δ
k
+
1
n + 1
n
X
k=0
g(t
j
, t
k
) δ
k
= f(t
j
) + F
n
, (г)
1
n + 1
n
X
k=0
δ
k
= D, t
j
∈ [−1, 1], j = 0, n, (д )
где A
k
(t) – функции, определяемые из условия алгебраической степени
точности квадратурной формулы
+1
Z
−1
ln |τ − t| · (1 − t
2
)
−1/2
ϕ(τ) dτ ≈ −2 π
n
X
k=0
A
k
(t)ϕ(t
k
). (е )
Теорема 3.10.Пусть выполнены условия: 1) функции g (по каж-
дой из переменных в отдельности) и f ∈ W
r+1
H
α
[−1, 1], r > 0,
0 < α 6 1; 2) система интегральных уравнений (а), (б) имеет един-
ственное решение
~ϕ
∗
(t) = {ϕ
∗
(t); F
∗
}, ϕ
∗
(t) ∈ L
2p
[−1, 1], F
∗
∈ IR,
при любой правой части
~
f = {f; D}, f ∈ W
1
2q
[−1, 1], D ∈ IR ;
3) коэффициенты A
k
(t
j
) = S(l
k
; t
j
) определены по формуле (3.33), а
узлы t
j
определены по любой из формул а), б), в) из (3.27).
Тогда для всех n > n
0
( n
0
определяется свойствами функ-
ции
g(t, τ)) СЛАУ (г) – (д) имеет единственное решение δ
∗
0
, . . . , δ
∗
n
, F
∗
n
.
Приближенные решения ~ϕ
∗
n
(t) = {ϕ
∗
n
(t); F
∗
n
}, где ϕ
∗
n
(t) = ϕ
n
(t) при
δ
k
= δ
∗
k
, k = 0, n, сходятся к точному решению в среднем и равно-
мерно со скоростями соответственно
k~ϕ
∗
(t) − ~ϕ
∗
n
(t)k ≡ kϕ
∗
(t) − ϕ
∗
n
(t)k
2p
+ |F
∗
− F
∗
n
| = O
¡
n
−r−α
¢
,
max
−16t61
|ϕ
∗
(t) − ϕ
∗
n
(t)| = O
¡
n
−r−α
ln n
¢
.
Доказательство ведется по аналогии с доказательством теоре-
мы 1.18, существенно используя при этом теоремы 3.5 и 3.9, а также
лемм 3.1 и 3.2.
68
    Приближенное решение системы (а) – (б) будем искать в виде
вектор-функции ϕ  ~ n (t) = {ϕ(t); Fn } с компонентами Fn ∈ IR и
                   X  n
                                Tn+1 (τ )                2k + 1
         ϕn (τ ) =       δk           0 (τ ) , τ k = cos        π, (в)
                            (τ − τk )Tn+1  k             2n + 2
                        k=0
где δ0 , δ1 , . . . , δn – неизвестные параметры. Их и приближенное значе-
ние Fn параметра F будем определять из СЛАУ
                 X n                     n
                                      1 X
                       Ak (tj ) δk +       g(tj , tk ) δk = f (tj ) + Fn , (г)
                                     n+1
              k=0                         k=0
                           n
                           X
                     1
                                 δk = D,     tj ∈ [−1, 1], j = 0, n,            (д )
                    n+1
                           k=0
где Ak (t) – функции, определяемые из условия алгебраической степени
точности квадратурной формулы
         Z+1                                           n
                                                       X
                                2 −1/2
             ln |τ − t| · (1 − t )     ϕ(τ ) dτ ≈ −2 π   Ak (t)ϕ(tk ). (е )
         −1                                                 k=0


    Теорема 3.10.Пусть выполнены условия: 1) функции g (по каж-
дой из переменных в отдельности) и f ∈ W r+1 H α [−1, 1], r > 0,
0 < α 6 1; 2) система интегральных уравнений (а), (б) имеет един-
ственное решение
              ~ ∗ (t) = {ϕ∗ (t); F ∗ },
              ϕ                            ϕ∗ (t) ∈ L2p [−1, 1], F ∗ ∈ IR,
при любой правой части f~ = {f ; D}, f ∈ W2q                    1
                                                                  [−1, 1], D ∈ IR ;
3) коэффициенты Ak (tj ) = S(lk ; tj ) определены по формуле (3.33), а
узлы tj определены по любой из формул а), б), в) из (3.27).
      Тогда для всех n > n0 ( n0 определяется свойствами функ-
ции
g(t, τ )) СЛАУ (г) – (д) имеет единственное решение δ0∗ , . . . , δn∗ , Fn∗ .
Приближенные решения ϕ           ~ ∗n (t) = {ϕ∗n (t); Fn∗ }, где ϕ∗n (t) = ϕn (t) при
δk = δk∗ , k = 0, n, сходятся к точному решению в среднем и равно-
мерно со скоростями соответственно
                                                                        ¡      ¢
      k~ϕ∗ (t) − ϕ
                 ~ ∗n (t)k ≡ kϕ∗ (t) − ϕ∗n (t)k2p + |F ∗ − Fn∗ | = O n−r−α ,
                                                     ¡            ¢
                       max |ϕ∗ (t) − ϕ∗n (t)| = O n−r−α ln n .
                    −16t61

    Доказательство ведется по аналогии с доказательством теоре-
мы 1.18, существенно используя при этом теоремы 3.5 и 3.9, а также
лемм 3.1 и 3.2.

                                            68

Страницы