Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 71 стр.

    Из (4.3) – (4.5) и обобщенного равенства Парсеваля находим
                         ∞
                         X                                 ¯   σ ¯¯γ
                                                2          ¯
           (U x, x)2 =           ck (ρ)|ck (x)| ,   ρ(σ) = ¯ctg ¯ .    (4.6)
                                                               2
                         k=−∞

Так как функция ρ(σ) = ρ(−σ) > 0, σ ∈ IR, и является монотонной в
[0, π] , то с помощью (4.5) нетрудно показать, что ck (ρ) > 0 для всех
k = 0, ±1, . . . А тогда из (4.6) для любой x ∈ L2 [0, 2π], x(s) 6≡ 0,
получаем требуемое неравенство (U x, x)2 > 0. Отсюда следует, что
однородное уравнение U x = 0 имеет в L2 лишь тривиальное решение.
      Утверждение следствия очевидно в силу того, что на Xn опе-
ратор U задается положительной симметричной матрицей порядка
N = dim Xn < ∞, а такая матрица является положительно            опре-
                                                              ¡ 1−γ ¢
                                                  −1
деленной. Тогда из (4.6), (4.5) следует, что    kC k2 = O n           ,
                     T
C : Xn −→ Xn = IHn ⊂ L2 .
     Замечание 4.1. Если h(s, σ) = h(s − σ), где h(s) – четная функ-
ция из C2π , то лемма 4.1 сохраняется и усиливается; в частности, при
p = 2 для положительности оператора C достаточно, чтобы ck (ρ)+
+ck (h) > 0, 1 + |k| ∈ N.
     4.2. Полиномиальные проекционные методы. Приближен-
ное решение с.и.у. (4.1) будем искать в виде полинома
                        n
                        X
             xn (s) =          αk eiks ,   α−k = αk ,   n + 1 ∈ N,     (4.7)
                        k=−n

который будем определять как решение операторного уравнения
             Cn xn ≡ Pn Cxn = Pn y (xn ∈ Xn , Pn y ∈ Yn );             (4.8)
здесь Xn , Yn – подпространства тригонометрических полиномов с со-
ответствующими нормами, а Pn : L2 −→ IHTn ⊂ L2 – некоторые адди-
тивные и однородные проекционные операторы.
     Ясно, что уравнение (4.8) эквивалентно СЛАУ порядка 2n + 1 от-
носительно коэффициентов полинома (4.7). Выбирая конкретный по-
линомиальный оператор Pn , из (4.8) получим конкретную СЛАУ, соот-
ветствующую рассматриваемому методу; в частности, из (4.8) можно
получить СЛАУ методов Галеркина, коллокации и подобластей.
     Теорема 4.1. Пусть выполнены условия: а) y(s) ∈ W r H α и
h(s, σ) ∈ W r H α (по s равномерно относительно σ), где r > 0, 0 <
< α 6 1; б) с.и.у. (4.1) однозначно разрешимо в M при любой y ∈

                                           70