Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 72 стр.

H 1−γ ; в) Pn есть либо оператор Фурье Φn , либо оператор Лагранжа
Ln по узлам
                    sk = 2kπ/(2n + 1), k = 0, 2n,              (4.9)
    либо оператор подобластей Πn по этим же узлам.
    Если r + α > 1 − γ, 0 < γ < 1, то при всех натуральных n >
> n0 уравнение (4.8) имеет единственное решение x∗n (s). При n → ∞
приближенные решения x∗n (s) равномерно сходятся со скоростью
                                  ¡              ¢
                  kx∗ − x∗n k∞ = O n−r−α−γ+1 ln n .           (4.10)
    Следствие. Если h(s, σ) = h(s − σ), то уравнение (4.8) одно-
значно разрешимо при любых n = 0, 1, . . . и справедлива оценка (4.10).
    Доказательство. В силу (4.4) для любого xn ∈ IHTn имеем
             n
             X                            ¯    σ ¯¯γ
                          iks  T          ¯
      U xn =    αk ck (ρ)e ∈ IHn , ρ(σ) = ¯ctg ¯ .          (4.11)
                                               2
               k=−n

Положим X = M, Xn = IHTn ⊂ X, Y = H 1−γ [0, 2π], Yn = IHTn ⊂ Y .
Тогда в силу (4.11), (4.1), (4.8) для любого xn ∈ Xn находим
    kCxn − Cn xn k∞ = kV xn − Pn V xn k∞ 6 2kPn k∞ · EnT (V xn )∞ 6
                                       ¡          ¢
      6 2kPn k∞ · EnT s (h)∞ kxn k∞ = O n−r−α ln n kxn k∞ ;       (4.12)
здесь использованы такие известные факты, как теорема Джексона в
C2π и неравенства ( см., напр., [41, 51, 75])
   kΦn k∞ = O (ln n),   kLn k∞ = O (ln n),    kΠn k∞ = O (ln n).   (4.13)
    Из (4.13), (4.12) с помощью результатов по аппроксимации в гëльдеровых
пространствах (см., напр., [12, 13, 18, 25]) находим
    kCxn − Cn xn k1−γ = O (n−r−α+1−γ ln n) kxn k∞ ,   x n ∈ Xn .   (4.14)
    Из (4.12) и (4.14) следует оценка
   εn ≡ kC − Cn k = O (n−r−α+1−γ ln n),      C − Cn : Xn −→ Y.     (4.15)
     По аналогии с (4.12), (4.14) для правых частей уравнений (4.1) и
(4.8) с помощью (4.13) находим [12, 18]
                  ky − Pn yk1−γ = O (n−r−α+1−γ ln n).              (4.16)
      Теперь с учетом (4.16) и (4.15) из теоремы 7 гл.I монографии
[25] следует утверждение доказываемой теоремы, в частности, оценка
погрешности (4.11). При этом номер n0 определяется из неравенства
                 qn ≡ kC−1 kεn < 1,     C−1 : Y −→ X,

                                   71