Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 74 стр.

уравнение (4.8), в силу его эквивалентности СЛАУ конечного порядка,
будет иметь единственное решение при любой правой части.
    Для завершения доказательства остается заметить, что в рас-
сматриваемом случае для невязки справедливы формулы rn = y−
−Cx∗n = y − Pn y, и воспользоваться известными результатами по ап-
проксимативным свойствам операторов Фурье Φn , Лагранжа Ln и по-
добластей Πn в пространстве L2 [0, 2π] (см., напр., [75, 41, 51]).
    Пусть теперь коэффициенты αk приближенного решения (4.7)
определяются по м.н.к. из СЛАУ
              n
              X
                    αk (Ceikσ , Ceijσ )2 = (y, Ceijσ )2 , j = −n, n.   (4.21)
             k=−n


     Теорема 4.3. Пусть выполнены условия: а) y ∈ L2 [0, 2π], h
∈ L2 [0, 2π]2 ; б) с.и.у. (4.1) имеет решение x∗ ∈ L2 при данной правой
части y ∈ L2 ; в) однородное уравнение Cx = 0 имеет в L2 лишь
тривиальное решение. Тогда при любых n ∈ N СЛАУ (4.21) имеет
единственное решение αk∗ , k = −n, n. Приближенные решения x∗n (s)
(т.е. (4.7) при αk = αk∗ ) сходятся в том смысле, что невязка rn ≡
≡ y − Cx∗n → 0 при n → ∞ и
                       krn k2 6 kCk2 · EnT (x∗ )2 , n ∈ N.             (4.22)

     Доказательство. В условиях теоремы оператор C : L2 −→ L2 ,
определяемый левой частью уравнения (4.1), является вполне непре-
рывным. Отсюда, в частности, следует, что система функций {eiks }∞
                                                                 −∞
является C-полной. С другой стороны, в силу условия в) теоремы
система функций ϕj (s) = N(eijσ ; s) является линейно независимой.
Поэтому дальше доказательство завершается как и в теореме 1.9.
     Отметим, что в приложениях встречаются также слабо с.и.у. пер-
вого рода вида (см., напр., [78, 80])
         Z2π ¯       ¯              Z2π
     1       ¯ s − σ ¯−γ          1
             ¯sin    ¯ x(σ) dσ +        h(s, σ)x(σ) dσ = y(s),         (4.23)
    2π       ¯    2 ¯            2π
         0                                   0

где 0 < γ < 1, а h(s, σ) – регулярное ядро. Для с.и.у. (4.23) спра-
ведливы многие из полученных выше результатов. Это утверждение
следует из формулы |ctg θ|γ = | sin θ|−γ − h0 (θ), где h0 (θ) есть чет-
ная непрерывная 2π-периодическая функция. Кроме того, результаты,
аналогичные приведенным в этом параграфе, можно получить также

                                        73