Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 76 стр.

    Легко видеть, что для xn (s) из (5.2)
                n
                X                                               Zπ
                                                            1
  G(xn ; s) =          ck (xn )ck (g)eiks ,        ck (g) =          g(σ) cos kσ dσ.   (5.4)
                                                            π
                k=−n                                            0

Другими словами, Gxn ∈ IHTn для любого xn ∈ IHTn . Поэтому, если
Pn2 = Pn , то уравнение (5.3) принимает вид
   An xn ≡ Gxn + Pn Rxn = Pn y (xn ∈ Xn , Pn y ∈ Yn , Pn ∈ Pn ),                       (5.5)
где подпространства Xn = IHTn и Yn = IHTn наделены нормами про-
странств соответственно X и Y .
     Соотношения (5.2), (5.3), (5.5) представляют собой схему общего
проекционного метода решения с.и.у. (5.1). В силу сказанного в разделе
1.2 (см. также гл.I [25]), для обоснования рассматриваемого метода
большое значение имеют величины
    εn ≡ kA − An kXn →Y = kR − Pn RkXn →Y , δn ≡ ky − Pn ykY .                         (5.6)
Если при n → ∞ имеем εn → 0 и δn → 0, то сходимость метода следу-
ет из теоремы 7 гл. I [25]. Ясно, что последние условия существенным
образом зависят от выбора операторов проектирования Pn , порождаю-
щих проекционный метод, и от выбора пространств X и Y ; последнее,
очевидно, зависит от исходных данных, в первую очередь, от слабо
сингулярного ядра g(s). В частности, при g(s) = ln | sin(s/2)| полагаем
Y = X 1 (если пространство X дано) или X = Y −1 (если простран-
ство Y дано), где Y −1 означает пространство 2π–периодических пер-
вообразных функций y(s) ∈ Y . При этом необходимо заботиться о
том, чтобы оператор A−1 : Y −→ X был ограниченным.
     Сначала отметим следующий простой частный случай: если h(s, σ) =
= h(s − σ), то для любого xn ∈ IHTn имеем
         An xn ≡ Pn (Gxn + Rxn ) = Gxn + Rxn = Axn = Pn y.
Поэтому в рассматриваемом случае из однозначной разрешимости с.и.у.
(5.1) следует однозначная разрешимость приближенного уравнения
(5.3) при любых n = 0, 1, . . ., причем для невязки rn ≡ y − Ax∗n и по-
грешности θn ≡ x∗ − x∗n метода справедливы формулы rn = y − Pn y,
θn = A−1 rn . Тогда доказательство сходимости метода и оценка по-
грешности не представляют никаких принципиальных трудностей. По-
ложение еще более упрощается, если проекционные операторы Pn яв-
ляются инвариантными относительно сдвига, ибо тогда
          θn ≡ x∗ − x∗n = A−1 rn = x∗ − Pn A−1 y = x∗ − Pn x∗ .                        (5.7)

                                              75