ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Однако вернемся к общему случаю с наиболее часто встречаемым
на практике слабо сингулярным ядром.
5.2. Теоремы о сходимости общего проекционного мето-
да. Итак, пусть (здесь и в следующем разделе) g(σ) = −ln |sin
σ
2
|,
а X = L
2
= L
2
[0, 2π], Y = W
1
2
= W
1
2
[0, 2π]. Обозначим через P
n
=
= P
(1)
n
(L
2
, IH
T
n
) ⊂ L(L
2
, L
2
) множество всех линейных проекционных
(т.е. P
2
n
= P
n
) операторов, отображающих L
2
в IH
T
n
⊂ L
2
и ограничен-
ных по норме в совокупности.
Теорема 5.1. Пусть P
n
∈ P
(1)
n
и y ∈ W
1
2
, а регулярное ядро
h(s, σ) таково, что оператор R : L
2
→ W
1
2
вполне непрерывен. Если
с.и.у. (5.1) имеет единственное решение x
∗
∈ L
2
при любой y ∈ W
1
2
,
то при всех n > n
0
(номер n
0
зависит от свойств ядра h(s, σ), в
частности, n
0
= 0 при h(s, σ) ≡ 0 или же h(s, σ) = h(s − σ)),
приближенное уравнение (5.5) также имеет единственное решение
x
∗
n
∈ IH
T
n
⊂ L
2
при любых P
n
y ∈ IH
T
n
⊂ W
1
2
, P
n
∈ P
(1)
n
. Приближен-
ные решения сходятся в среднем со скоростью
kx
∗
− x
∗
n
k
2
= O
½
E
T
n
³
d
ds
Gx
∗
´
2
¾
= O
©
E
T
n
(x
∗
)
2
ª
. (5.8)
Следствие 1. В условиях теоремы операторы A
−1
n
= (P
n
A)
−1
(n > n
0
, P
n
∈ P
(1)
n
) ограничены по норме в совокупности:
kA
−1
n
k = O (1), A
−1
n
: Y
n
→ X
n
, Y
n
⊂ W
1
2
, X
n
⊂ L
2
. (5.9)
Следствие 2. Если функции y(s) и R(x
∗
; s) ∈ W
r+1
H
α
2
, то при-
ближенные решения сходятся в среднем и равномерно (при r + α >
1/2) со скоростями соответственно:
kx
∗
− x
∗
n
k
2
= O (n
−r−α
); kx
∗
− x
∗
n
k
∞
= O (n
−r−α+1/2
). (5.10)
Доказательство. Поскольку P
2
n
= P
n
и kP
n
k
2
= O (1), то опера-
торы P
n
сходятся сильно в L
2
и для любых ϕ ∈ L
2
, P
n
∈ P
(1)
n
kϕ − P
n
ϕk
2
6 kE − P
n
k
2
E
T
n
(ϕ)
2
6 2 kP
n
k
2
E
T
n
(ϕ)
2
= O
©
E
T
n
(ϕ)
2
ª
.
(5.11)
Покажем, что операторы P
n
сходятся сильно также в пространстве
W
1
2
, причем
kϕ − P
n
ϕk
W
1
2
6
µ
1 +
nkP
n
k
2
+ kE − P
n
k
2
n + 1
¶
E
T
n
(ϕ
0
)
2
6
6 3 kP
n
k
2
E
T
n
(ϕ
0
)
2
= O {E
T
n
(ϕ
0
)
2
}, ϕ ∈ W
1
2
, P
n
∈ P
(1)
n
. (5.12)
76
Однако вернемся к общему случаю с наиболее часто встречаемым
на практике слабо сингулярным ядром.
5.2. Теоремы о сходимости общего проекционного мето-
да. Итак, пусть (здесь и в следующем разделе) g(σ) = − ln | sin σ2 |,
а X = L2 = L2 [0, 2π], Y = W21 = W21 [0, 2π]. Обозначим через Pn =
(1)
= Pn (L2 , IHTn ) ⊂ L(L2 , L2 ) множество всех линейных проекционных
(т.е. Pn2 = Pn ) операторов, отображающих L2 в IHTn ⊂ L2 и ограничен-
ных по норме в совокупности.
(1)
Теорема 5.1. Пусть Pn ∈ Pn и y ∈ W21 , а регулярное ядро
h(s, σ) таково, что оператор R : L2 → W21 вполне непрерывен. Если
с.и.у. (5.1) имеет единственное решение x∗ ∈ L2 при любой y ∈ W21 ,
то при всех n > n0 (номер n0 зависит от свойств ядра h(s, σ), в
частности, n0 = 0 при h(s, σ) ≡ 0 или же h(s, σ) = h(s − σ)),
приближенное уравнение (5.5) также имеет единственное решение
(1)
x∗n ∈ IHTn ⊂ L2 при любых Pn y ∈ IHTn ⊂ W21 , Pn ∈ Pn . Приближен-
ные решения сходятся в среднем со скоростью
½ ³ ´¾
∗ ∗ T d ∗
© ª
kx − xn k2 = O En Gx = O EnT (x∗ )2 . (5.8)
ds 2
Следствие 1. В условиях теоремы операторы A−1 n = (Pn A)
−1
(1)
(n > n0 , Pn ∈ Pn ) ограничены по норме в совокупности:
kA−1
n k = O (1), A−1
n : Yn → Xn , Yn ⊂ W21 , X n ⊂ L2 . (5.9)
Следствие 2. Если функции y(s) и R(x∗ ; s) ∈ W r+1 H2α , то при-
ближенные решения сходятся в среднем и равномерно (при r + α >
1/2) со скоростями соответственно:
kx∗ − x∗n k2 = O (n−r−α ); kx∗ − x∗n k∞ = O (n−r−α+1/2 ). (5.10)
Доказательство. Поскольку Pn2 = Pn и kPn k2 = O (1), то опера-
(1)
торы Pn сходятся сильно в L2 и для любых ϕ ∈ L2 , Pn ∈ Pn
© ª
kϕ − Pn ϕk2 6 kE − Pn k2 EnT (ϕ)2 6 2 kPn k2 EnT (ϕ)2 = O EnT (ϕ)2 .
(5.11)
Покажем, что операторы Pn сходятся сильно также в пространстве
W21 , причем
µ ¶
nkPn k2 + kE − Pn k2
kϕ − Pn ϕkW 1 6 1 + EnT (ϕ0 )2 6
2 n+1
6 3 kPn k2 EnT (ϕ0 )2 = O {EnT (ϕ0 )2 }, ϕ ∈ W21 , Pn ∈ Pn(1) . (5.12)
76
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 75
- 76
- 77
- 78
- 79
- …
- следующая ›
- последняя »
